Calcul des Gisements Bruts d'un Cheminement Planimétrique
Contexte : La Topographie et l'Orientation.
Un géomètre-topographe doit réaliser le levé d'une parcelle et a pour cela mis en place un cheminement polygonalSérie de lignes connectées dont on mesure les longueurs et les angles pour déterminer les positions des points (stations). fermé. La première étape cruciale, après la mesure des angles sur le terrain, est de calculer l'orientation de chaque côté de ce polygone. Cette orientation est définie par le gisementAngle horizontal d'une direction, mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord.. Cet exercice vous guidera à travers le calcul séquentiel des gisements bruts, une compétence fondamentale en topographie.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est essentiel pour maîtriser la base des calculs topographiques. Il vous apprendra à "transporter" une orientation de proche en proche à l'aide des angles mesurés, une procédure au cœur du métier de topographe.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la relation directe entre les gisements et les angles internes d'un cheminement.
- Appliquer rigoureusement la formule de transport de gisement.
- Savoir normaliser un angle dans le système topographique (entre 0 et 400 grades).
Données du Levé Topographique
Fiche Technique du Levé
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type de cheminement | Polygonal fermé, tourné à droite |
| Instrument de mesure | Station Totale Leica TS16 |
| Unité angulaire | Grade (gon) |
Schéma du Cheminement Polygonal
| Station Observée | Angle à droite mesuré (gon) |
|---|---|
| S2 (entre S1 et S3) | 125,6548 |
| S3 (entre S2 et S4) | 88,1240 |
| S4 (entre S3 et S1) | 112,9872 |
Questions à traiter
- Calculer le gisement brut du côté S2-S3.
- Calculer le gisement brut du côté S3-S4.
- Calculer le gisement brut du côté S4-S1.
Les bases du Calcul de Gisement
Pour déterminer l'orientation d'une série de lignes (cheminement), on part d'une orientation connue (un gisement de départ) et on la "transporte" à la ligne suivante en utilisant l'angle mesuré qui lie les deux lignes.
1. Le Gisement (G)
Le gisement d'une droite AB, noté \(G_{\text{AB}}\), est l'angle mesuré dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) entre la direction du Nord et la droite AB. L'unité est le grade (gon). Un cercle complet fait 400 gon. Le Nord est à 0 gon, l'Est à 100 gon, le Sud à 200 gon et l'Ouest à 300 gon.
2. Le Transport de Gisement
La formule fondamentale pour passer du gisement d'un côté (Avant) au gisement du côté suivant (Après) est :
\[ G_{\text{Après}} = G_{\text{Avant}} + \alpha \pm 200 \text{ gon} \]
Où \(\alpha\) est l'angle mesuré à la station commune entre les deux côtés.
On utilise - 200 gon si on tourne à droite et que l'on vise la station "Avant" pour faire le zéro du cercle horizontal (tour d'horizon).
On utilise + 200 gon si on tourne à gauche.
Correction : Calcul des Gisements Bruts d'un Cheminement Planimétrique
Question 1 : Calculer le gisement brut du côté S2-S3
Principe
Pour trouver le gisement de S2 vers S3 (\(G_{\text{S2-S3}}\)), nous allons utiliser le gisement du côté précédent, S1 vers S2 (\(G_{\text{S1-S2}}\)), qui nous donne l'orientation de départ. En y ajoutant l'angle mesuré au sommet S2, on oriente la nouvelle direction (S2-S3) par rapport à la direction précédente (S2-S1). La correction de 200 gon sert à ramener cette nouvelle orientation par rapport à la direction de référence absolue, le Nord.
Mini-Cours
Le calcul se base sur la relation entre un gisement et son inverse. Le gisement de S2 vers S1, noté \(G_{\text{S2-S1}}\), est l'inverse de \(G_{\text{S1-S2}}\). On l'obtient par la formule \(G_{\text{S2-S1}} = G_{\text{S1-S2}} + 200\). Le nouveau gisement est alors \(G_{\text{S2-S3}} = G_{\text{S2-S1}} + \alpha_{\text{S2}}\). En combinant les deux, on obtient \(G_{\text{S2-S3}} = (G_{\text{S1-S2}} + 200) + \alpha_{\text{S2}}\), qu'il faudra ensuite normaliser. La formule directe \(G_{\text{S1-S2}} + \alpha_{\text{S2}} - 200\) est un raccourci mathématique de ce principe.
Remarque Pédagogique
Un schéma, même rapide et à main levée, est votre meilleur allié. Il vous permet de visualiser le quadrant (Nord-Est, Sud-Est, etc.) attendu pour le gisement calculé. Si votre résultat ne correspond pas au quadrant estimé sur le schéma, c'est un excellent indicateur d'une possible erreur de calcul (souvent l'oubli de la correction ou de la normalisation).
Normes
Il n'existe pas de "norme" au sens réglementaire strict pour cette formule de base, car elle découle de la géométrie. Cependant, les méthodes de calcul et les tolérances pour les cheminements topographiques sont encadrées en France par des textes comme l'arrêté du 21 janvier 2003 relatif au canevas et aux rattachements pour les travaux cadastraux, qui définit les classes de précision et les fermetures admissibles.
Formule(s)
Formule de transport de gisement (angles à droite)
N'oubliez pas la règle de normalisation : si le résultat est négatif, ajoutez 400 gon. S'il est supérieur à 400 gon, soustrayez 400 gon.
Hypothèses
Pour que le calcul soit valide, nous posons les hypothèses suivantes :
- L'instrument a été parfaitement mis en station (centrage sur le point et calage de la nivelle).
- Les angles ont été mesurés sans erreur grossière de lecture ou de saisie.
- Le gisement de départ est considéré comme exempt d'erreur pour ce calcul "brut".
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Gisement de S1 vers S2 | \(G_{\text{S1-S2}}\) | 85,4152 | gon |
| Angle en S2 | \(\alpha_{\text{S2}}\) | 125,6548 | gon |
Astuces
Pour visualiser, imaginez-vous à la station S2. Votre instrument est orienté sur S1. Pour viser S3, vous tournez l'appareil vers la droite de l'angle \(\alpha_{\text{S2}}\). La formule mathématique ne fait que traduire ce mouvement physique en une nouvelle orientation par rapport au Nord.
Schéma (Avant les calculs)
Orientation en S2 avant calcul
Calcul(s)
Appliquons la formule de transport de gisement. Chaque ligne représente une étape successive du calcul.
Le résultat est déjà compris entre 0 et 400 gon, donc aucune normalisation n'est nécessaire.
Schéma (Après les calculs)
Nouveau Gisement S2-S3
Réflexions
Le résultat de 11,0700 gon place le côté S2-S3 dans le quadrant Nord-Est, très proche de la direction du Nord. Ceci est cohérent : en partant d'une direction presque Est (85,4 gon), tourner à droite de plus d'un angle droit (125,6 gon) nous ramène logiquement vers le Nord.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'oublier la correction de 200 gon ou de se tromper de signe (+ au lieu de -). Pour un cheminement tourné à droite avec des angles internes, on soustrait toujours 200 gon dans la formule de base.
Points à retenir
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Transport de gisement. On propage une orientation connue à un côté adjacent.
- Formule Essentielle : \(G_{\text{après}} = G_{\text{avant}} + \alpha_{\text{droite}} - 200\).
- Point de Vigilance Majeur : Ne jamais oublier la correction de 200 gon et la normalisation finale de l'angle.
Le saviez-vous ?
L'unité "grade" (gon) a été introduite en France peu après la Révolution Française, dans une tentative de décimaliser toutes les unités (longueurs, poids, et même les angles). Un angle droit vaut 100 gon, ce qui simplifie certains calculs trigonométriques. Bien qu'il soit majoritaire en topographie en France, le degré reste l'unité internationale.
FAQ
Les questions les plus fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Et si l'angle en S2 avait été de 150,0000 gon, quel aurait été le gisement S2-S3 ?
Question 2 : Calculer le gisement brut du côté S3-S4
Principe
Le principe est identique : on transporte l'orientation. Nous utilisons le gisement que nous venons de calculer (\(G_{\text{S2-S3}}\)) comme nouvelle référence de départ. On y ajoute l'angle mesuré en S3 pour trouver l'orientation de S3-S4 par rapport à S3-S2, puis on applique la correction de 200 gon pour se recaler par rapport au Nord.
Mini-Cours
Chaque calcul est une itération. La sortie de l'étape N (le gisement calculé) devient l'entrée de l'étape N+1. C'est un processus séquentiel où chaque maillon dépend du précédent. Une erreur au début se propage tout au long du cheminement. C'est pourquoi la rigueur à chaque étape est fondamentale en topographie.
Remarque Pédagogique
Maintenant que vous avez le gisement S2-S3 (11 gon, proche du Nord), vous savez qu'en S3, vous allez mesurer un angle à droite de 88 gon (proche d'un angle droit). Le nouveau gisement devrait donc se situer autour de 11 + 88 = 99 gon, avant la correction. Cette estimation rapide vous aide à anticiper le résultat.
Normes
Les mêmes principes et cadres réglementaires que pour la question 1 s'appliquent ici. La cohérence de la méthode de calcul est la clé.
Formule(s)
Formule de transport de gisement (angles à droite)
Hypothèses
Nous maintenons les mêmes hypothèses que pour le calcul précédent concernant la qualité des mesures et des mises en station.
- Mise en station parfaite de l'instrument en S3.
- Mesure de l'angle \(\alpha_{\text{S3}}\) sans erreur grossière.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Gisement de S2 vers S3 | \(G_{\text{S2-S3}}\) | 11,0700 | gon |
| Angle en S3 | \(\alpha_{\text{S3}}\) | 88,1240 | gon |
Astuces
Attention à la normalisation ! Quand la somme (\(G_{\text{avant}} + \alpha\)) est inférieure à 200, le résultat après soustraction sera négatif. Il faudra impérativement ajouter 400 gon pour obtenir un gisement valide.
Schéma (Avant les calculs)
Orientation en S3 avant calcul
Calcul(s)
Calculons d'abord le gisement brut.
Le résultat est négatif. Pour le ramener dans l'intervalle [0, 400], on ajoute 400 gon.
Normalisation du gisement
Schéma (Après les calculs)
Nouveau Gisement S3-S4
Réflexions
Le résultat de 299,1940 gon place le côté S3-S4 dans le quadrant Nord-Ouest. Notre estimation rapide (autour de 99 gon) était avant la correction de 200 gon. Après correction ($99 - 200 \Rightarrow -101$) et normalisation ($-101+400 \Rightarrow 299$), le résultat est parfaitement cohérent.
Points de vigilance
Attention aux résultats négatifs ! Un gisement doit toujours être positif et compris entre 0 et 400 gon. L'ajout de 400 gon est une étape de calcul à part entière, et non une simple correction cosmétique.
Points à retenir
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : La normalisation d'un angle négatif est obligatoire.
- Formule Essentielle : \(G_{\text{normalisé}} = G_{\text{calculé}} + 400\) (si \(G_{\text{calculé}} < 0\)).
- Point de Vigilance Majeur : Une erreur sur ce calcul faussera tous les gisements suivants. Double-vérifiez !
Le saviez-vous ?
Les instruments modernes (stations totales) peuvent calculer et afficher les gisements en temps réel sur le terrain. Cependant, comprendre le calcul manuel est indispensable pour contrôler les mesures, détecter les erreurs et valider les résultats de l'appareil.
FAQ
Les questions les plus fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Avec \(G_{\text{S2-S3}} = 11,0700\) gon, que vaudrait \(G_{\text{S3-S4}}\) si l'angle en S3 était de 250,0000 gon ?
Question 3 : Calculer le gisement brut du côté S4-S1
Principe
C'est la dernière itération du calcul pour fermer notre cheminement. Le processus reste inchangé : on part du gisement \(G_{\text{S3-S4}}\) et on utilise l'angle mesuré en S4 (\(\alpha_{\text{S4}}\)) pour calculer le gisement final du côté S4-S1.
Mini-Cours
Dans un cheminement fermé, le dernier gisement calculé (\(G_{\text{S4-S1}}\) dans notre cas) peut être utilisé pour recalculer le gisement de départ. En effet, en ajoutant l'angle en S1 et en appliquant la correction, on devrait retomber sur le gisement initial \(G_{\text{S1-S2}}\). La différence entre le gisement de départ et celui recalculé après la boucle est appelée la "fermeture en gisement", qui permet de juger de la précision des mesures d'angle.
Remarque Pédagogique
Le gisement de départ pour cette étape est de 299 gon (presque Ouest). L'angle à droite est de 113 gon (un peu plus qu'un angle droit). On s'attend donc à ce que la nouvelle direction passe de l'Ouest au Sud. Le résultat devrait être dans le quadrant Sud-Ouest, soit entre 200 et 300 gon.
Normes
Les mêmes principes et cadres réglementaires que pour les questions précédentes s'appliquent.
Formule(s)
Formule de transport de gisement (angles à droite)
Hypothèses
Nous continuons avec les mêmes hypothèses de travail.
- Mise en station parfaite de l'instrument en S4.
- Mesure de l'angle \(\alpha_{\text{S4}}\) sans erreur grossière.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Gisement de S3 vers S4 | \(G_{\text{S3-S4}}\) | 299,1940 | gon |
| Angle en S4 | \(\alpha_{\text{S4}}\) | 112,9872 | gon |
Astuces
Cette fois, la somme (\(G_{\text{avant}} + \alpha\)) sera supérieure à 400. Le résultat après soustraction de 200 sera valide, mais on pourrait aussi soustraire 400 pour normaliser l'angle intermédiaire, ce qui revient au même.
Schéma (Avant les calculs)
Orientation en S4 avant calcul
Calcul(s)
Appliquons la formule une dernière fois.
Le résultat est déjà compris entre 0 et 400 gon, donc aucune normalisation n'est nécessaire.
Schéma (Après les calculs)
Nouveau Gisement S4-S1
Réflexions
Le résultat de 212,1812 gon est bien dans le quadrant Sud-Ouest, comme anticipé. Le processus de calcul est maintenant terminé. Les gisements de tous les côtés ont été déterminés et peuvent servir de base pour le calcul des coordonnées de chaque station.
Points de vigilance
Ne soyez pas confus par un résultat intermédiaire supérieur à 400 gon. Appliquez toujours la formule ($+ \alpha - 200$) dans son intégralité avant de penser à la normalisation. L'ordre des opérations est crucial.
Points à retenir
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Le calcul de gisement est un processus itératif qui se répète pour chaque côté du cheminement.
- Formule Essentielle : Toujours la même : \(G_{\text{après}} = G_{\text{avant}} + \alpha_{\text{droite}} - 200\).
- Point de Vigilance Majeur : La rigueur et la cohérence de l'application de la formule à chaque étape sont la clé du succès.
Le saviez-vous ?
Avant les calculatrices et les ordinateurs, les topographes effectuaient ces calculs manuellement à l'aide de tables de logarithmes pour les calculs trigonométriques. La méthode était la même, mais le processus était beaucoup plus long et fastidieux !
FAQ
Les questions les plus fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Avec \(G_{\text{S3-S4}} = 299,1940\) gon, que vaudrait \(G_{\text{S4-S1}}\) si l'angle en S4 était de 150,0000 gon ?
Outil Interactif : Simulateur de Transport de Gisement
Utilisez les curseurs pour voir comment le gisement calculé (Après) change en fonction du gisement de départ (Avant) et de l'angle mesuré (tourné à droite).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la direction de référence (0 gon) pour le calcul d'un gisement en topographie ?
2. Un cercle complet en topographie est divisé en :
3. Si un calcul de gisement donne -50 gon, le gisement normalisé correct est :
4. \(G_{\text{AB}} = 50\) gon. Angle en B tourné à droite = 300 gon. Que vaut \(G_{\text{BC}}\) ?
5. Que signifie "transporter un gisement" ?
- Gisement
- Angle horizontal d'une direction, mesuré dans le sens horaire (celui des aiguilles d'une montre) à partir de la direction de référence du Nord. Il est généralement exprimé en grades (gon).
- Cheminement
- Ensemble de segments de droites consécutifs (côtés) reliant des points appelés stations ou sommets. C'est une méthode de base pour déterminer les coordonnées des points sur le terrain.
- Grade (gon)
- Unité de mesure d'angle où un cercle complet est divisé en 400 grades. 100 gon correspondent à un angle droit (90 degrés).
- Station
- Point matérialisé sur le terrain sur lequel le topographe installe son instrument (le théodolite ou la station totale) pour effectuer des mesures d'angles et/ou de distances.
D’autres exercices de calculs planimétriques:
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