Calcul du Gisement Inverse en Topographie
Contexte : Le calcul de gisementLe calcul de l'angle d'une direction, mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord. est une opération fondamentale en topographie.
Il permet de déterminer la direction et la distance entre deux points dont les coordonnées sont connues. Cette opération, souvent appelée "calcul inverse", est essentielle pour les levers topographiques, les implantations d'ouvrages ou les vérifications de points sur le terrain. Cet exercice se concentre sur une étape cruciale : le calcul du gisement "retour" ou inverse, c'est-à-dire l'orientation du point B vers le point A, une fois que l'on connaît celle de A vers B.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser la manipulation des angles et des coordonnées en planimétrie, une compétence de base indispensable pour tout technicien ou ingénieur en géomatique.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le gisement et la distance entre deux points à partir de leurs coordonnées rectangulaires.
- Comprendre la relation entre un gisement direct et un gisement inverse.
- Appliquer la formule correcte pour déduire le gisement inverse dans le système d'unité angulaire du grade (gon).
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Système de Coordonnées | RGF93 CC49 |
| Unité angulaire | Grade (gon) |
| Unité de distance | Mètre (m) |
Position des points A et B
| Point | Coordonnée E (m) | Coordonnée N (m) |
|---|---|---|
| A | 751 325.45 | 6 721 540.20 |
| B | 751 680.70 | 6 721 415.95 |
Questions à traiter
- Calculer les différences de coordonnées ΔE (EB - EA) et ΔN (NB - NA).
- Calculer la distance horizontale DAB entre les points A et B.
- Calculer le gisement GAB du point A vers le point B.
- En déduire le gisement inverse GBA du point B vers le point A.
Les bases du calcul de gisement et distance
1. Calcul de la distance
La distance entre deux points A et B se calcule à l'aide du théorème de Pythagore appliqué aux différences de coordonnées. C'est la longueur de l'hypoténuse du triangle rectangle formé par ΔE et ΔN.
\[ D_{\text{AB}} = \sqrt{\Delta E^2 + \Delta N^2} \]
Où \( \Delta E = E_{\text{B}} - E_{\text{A}} \) et \( \Delta N = N_{\text{B}} - N_{\text{A}} \).
2. Calcul du gisement
Le gisement est l'angle calculé à partir de la fonction arc-tangente. Cependant, pour obtenir une valeur entre 0 et 400 gon, il faut ajuster le résultat en fonction du quadrant, qui est déterminé par les signes de ΔE et ΔN. La formule générale utilisant `atan2` (qui gère les quadrants automatiquement) est souvent préférée :
\[ G_{\text{AB}} \text{ [rad]} = \text{atan2}(\Delta E, \Delta N) \]
On convertit ensuite ce résultat en grades, en s'assurant qu'il soit positif.
Correction : Calcul du Gisement Inverse
Question 1 : Calculer les différences de coordonnées ΔE et ΔN
Principe (le concept physique)
La première étape consiste à décomposer le segment de droite AB en ses composantes vectorielles selon les axes cardinaux. On calcule le déplacement nécessaire sur l'axe Est-Ouest (ΔE ou ΔX) et sur l'axe Nord-Sud (ΔN ou ΔY) pour aller du point A au point B.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
En topographie plane, le terrain est assimilé à un plan cartésien. Chaque point est défini par deux coordonnées rectangulaires (E, N). Le vecteur allant d'un point A vers un point B a pour composantes les différences de coordonnées. Le signe de ces composantes indique la direction du déplacement : positif pour l'Est et le Nord, négatif pour l'Ouest et le Sud.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La clé ici est la rigueur dans l'ordre de la soustraction. La formule est toujours : **Coordonnées du point d'arrivée - Coordonnées du point de départ**. Inverser cet ordre reviendrait à calculer le vecteur de B vers A, ce qui inverserait les signes et fausserait tous les calculs suivants.
Normes (la référence réglementaire)
Ce calcul est une application directe des mathématiques et ne dépend pas d'une norme de construction. Cependant, les coordonnées elles-mêmes sont définies dans un système géodésique de référence. En France, la norme est le RGF93 (Réseau Géodésique Français 1993), associé à une projection cartographique comme le Conique Conforme 9 zones (CC9).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la différence en Est
Formule de la différence en Nord
Hypothèses (le cadre du calcul)
Pour ce calcul, on admet les hypothèses suivantes :
- Les points A et B sont exprimés dans le même système de coordonnées rectangulaires.
- On travaille en topographie plane, donc la courbure de la Terre est négligée.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Les seules données nécessaires sont les coordonnées des points A et B, tirées de l'énoncé.
| Point | Coordonnée E (m) | Coordonnée N (m) |
|---|---|---|
| A (Départ) | 751 325.45 | 6 721 540.20 |
| B (Arrivée) | 751 680.70 | 6 721 415.95 |
Astuces (Pour aller plus vite)
Avant de calculer, jetez un œil aux coordonnées. On voit que E de B est plus grand que E de A (donc ΔE sera positif). On voit aussi que N de B est plus petit que N de A (donc ΔN sera négatif). Ce simple contrôle visuel vous permet d'anticiper les signes et de vérifier rapidement votre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Vecteur AB sur un repère local
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de \( \Delta E \)
Calcul de \( \Delta N \)
Schéma (Après les calculs)
Composantes du vecteur AB
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le signe de ΔE est positif, ce qui confirme que le point B est à l'Est du point A. Le signe de ΔN est négatif, ce qui confirme que B est au Sud de A. Le déplacement se fait donc dans le quadrant Sud-Est, ce qui est cohérent avec une observation visuelle des coordonnées.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus classique est d'inverser la soustraction (\(E_A - E_B\)). Cela change les signes de ΔE et ΔN et vous place dans le quadrant diamétralement opposé, ce qui faussera complètement le calcul de gisement.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Pour maîtriser ce point, retenez cette règle simple : Δ = Coordonnées du POINT VISÉ - Coordonnées du POINT DE STATION. Cette logique s'applique à tous les calculs topographiques.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le concept de décomposer un déplacement en composantes orthogonales a été formalisé par René Descartes au XVIIe siècle avec l'invention du système de coordonnées cartésiennes. C'est l'un des piliers des mathématiques modernes et de toutes les sciences de l'ingénieur, y compris la topographie.
FAQ (pour lever les doutes)
Voici une question fréquente :
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Calculez les différences de coordonnées pour aller d'un point C (E=500, N=1000) à un point D (E=450, N=1100).
Question 2 : Calculer la distance horizontale DAB
Principe (le concept physique)
La distance horizontale entre deux points est la longueur à vol d'oiseau entre eux sur un plan. Géométriquement, cette distance correspond à l'hypoténuse du triangle rectangle dont les côtés adjacents sont les différences de coordonnées ΔE et ΔN que nous venons de calculer.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le calcul est une application directe du théorème de Pythagore en géométrie euclidienne. Ce théorème énonce que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. En topographie, l'hypoténuse est la distance, et les deux autres côtés sont ΔE et ΔN.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Une distance est par définition une valeur scalaire toujours positive. Si votre calcul vous mène à un résultat négatif, c'est qu'il y a une erreur. L'utilisation des carrés dans la formule garantit mathématiquement que le résultat sous la racine sera positif, à condition de bien additionner les termes.
Normes (la référence réglementaire)
Comme pour la question 1, il ne s'agit pas d'une norme de construction mais d'un principe mathématique fondamental. La seule norme qui intervient est celle de l'unité de mesure, qui est le mètre (m) dans le Système International.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la distance (Théorème de Pythagore)
Hypothèses (le cadre du calcul)
L'hypothèse principale est que nous travaillons dans un espace euclidien, où le théorème de Pythagore s'applique. C'est le cas en topographie plane. Pour des distances très longues (plusieurs dizaines de kilomètres), il faudrait tenir compte de la courbure terrestre et utiliser des formules de géodésie.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On utilise les différences de coordonnées calculées précédemment :
- ΔE = +355.25 m
- ΔN = -124.25 m
Astuces (Pour aller plus vite)
Pour estimer rapidement l'ordre de grandeur, la distance sera toujours supérieure à la plus grande des deux composantes (|ΔE| ou |ΔN|) et inférieure à leur somme (|ΔE| + |ΔN|). Ici, la distance doit être comprise entre 355.25 m et 479.50 m. Cela permet de détecter une erreur de calcul grossière.
Schéma (Avant les calculs)
Hypoténuse du triangle de coordonnées
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la distance
Schéma (Après les calculs)
Triangle de coordonnées résolu
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat de 376.35 m est cohérent avec notre estimation. Il représente la distance réelle à mesurer sur le terrain (horizontalement) entre les deux points. En topographie, on arrondit généralement les distances au millimètre, soit 376.352 m.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Deux erreurs classiques à éviter :
- Oublier la racine carrée : c'est l'erreur la plus fréquente qui donne un résultat absurdement grand.
- Mal gérer le signe négatif : se tromper et soustraire \(124.25^2\) au lieu de l'additionner. Rappelez-vous : \((-124.25)^2 = (+124.25)^2\). La somme sous la racine est toujours une somme de termes positifs.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La distance entre deux points est l'application la plus directe du théorème de Pythagore en topographie. La formule \( D = \sqrt{\Delta E^2 + \Delta N^2} \) est un automatisme à acquérir.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le théorème de Pythagore était connu des Babyloniens et des Égyptiens bien avant le mathématicien grec, mais ce sont Pythagore et son école qui en ont fourni la première démonstration formelle. C'est l'un des théorèmes les plus démontrés de l'histoire des mathématiques, avec plusieurs centaines de preuves différentes !
FAQ (pour lever les doutes)
Une question récurrente :
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Avec ΔE = -50 m et ΔN = +100 m, calculez la distance. (Arrondir à 2 décimales)
Question 3 : Calculer le gisement GAB
Principe (le concept physique)
Le gisement est l'angle qui définit l'orientation de la ligne AB par rapport à une direction de référence fixe, le Nord. Cet angle est déterminé par la trigonométrie dans le triangle rectangle formé par ΔE et ΔN. Il est crucial de bien identifier le quadrant pour ne pas se tromper.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La fonction trigonométrique de base est l'arc-tangente, qui donne un angle à partir du rapport des côtés opposé et adjacent. Ici, \( \tan(\alpha) = \frac{|\Delta E|}{|\Delta N|} \). Cependant, la calculatrice donne un résultat entre 0 et 100 gon. Il faut donc appliquer une correction en fonction des signes de ΔE et ΔN pour obtenir le gisement correct sur 400 gon. C'est la fameuse "règle des quadrants".
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Avant de toucher à la calculatrice, ayez toujours le réflexe de dessiner un petit schéma avec les axes N/S et E/O. Placez votre vecteur en fonction des signes de ΔE et ΔN. Cela vous donne immédiatement une idée de l'intervalle dans lequel doit se trouver votre gisement (0-100, 100-200, 200-300 ou 300-400 gon) et vous évitera 90% des erreurs.
Normes (la référence réglementaire)
La définition du gisement (angle horaire depuis le Nord) est une convention universelle en topographie et en navigation. L'utilisation du grade comme unité est courante en France et dans d'autres pays européens, tandis que le degré sexagésimal est plus répandu dans le monde anglo-saxon.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de l'angle de base
Règles des quadrants
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le Nord utilisé comme référence est le même sur toute la zone d'étude (hypothèse du Nord des Y ou Nord Lambert), ce qui est vrai pour un levé dans un système de projection unique.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On utilise les différences de coordonnées calculées précédemment :
- ΔE = +355.25 m (Positif)
- ΔN = -124.25 m (Négatif)
Ces signes nous placent dans le quadrant Sud-Est (le 2ème quadrant topographique).
Astuces (Pour aller plus vite)
La plupart des calculatrices scientifiques modernes et des logiciels disposent d'une fonction `ATAN2(y, x)` ou `POLAR(x, y)`. En topographie, il faut l'utiliser sous la forme `ATAN2(ΔN, ΔE)` (attention à l'ordre inversé !) ou `POLAR(ΔE, ΔN)`. Cette fonction gère automatiquement les quadrants et donne directement le bon angle, vous évitant d'appliquer manuellement les règles.
Schéma (Avant les calculs)
Angle GAB à déterminer
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Calcul de l'angle de base α en radians
Étape 2 : Conversion de α en grades
Étape 3 : Ajustement au quadrant (Sud-Est)
Schéma (Après les calculs)
Gisement GAB calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat 121.4552 gon est bien compris entre 100 gon (Est) et 200 gon (Sud), ce qui correspond parfaitement au quadrant Sud-Est. Le résultat est donc cohérent. En pratique, on l'arrondirait à 121.455 gon (au décimilligrade près).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Les erreurs les plus graves sur le calcul de gisement sont :
- Oublier l'ajustement de quadrant : se contenter de la valeur 78.5448 gon serait une erreur majeure.
- Se tromper dans la formule de quadrant : appliquer \(200 + \alpha\) au lieu de \(200 - \alpha\) par exemple.
- Erreurs de conversion d'unités angulaires : s'assurer que sa calculatrice est bien en mode Radian pour la fonction `arctan` avant de convertir en grades.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La maîtrise du calcul de gisement passe par la mémorisation et la compréhension des quatre règles de quadrant. C'est le point le plus important de cette question.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En navigation maritime et aérienne, on utilise un concept similaire appelé "azimut" ou "cap". Il est également mesuré dans le sens horaire depuis le Nord, mais est quasi exclusivement exprimé en degrés sexagésimaux (0 à 360°).
FAQ (pour lever les doutes)
Une question classique :
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Calculez le gisement pour ΔE = -50 m et ΔN = +100 m. (Arrondir à 2 décimales)
Question 4 : En déduire le gisement inverse GBA
Principe (le concept physique)
Le gisement inverse (\(G_{BA}\)) représente l'orientation de la même ligne [AB], mais observée depuis le point B en direction du point A. Géométriquement, cette direction est à l'opposé exact de la direction de A vers B. Cet "opposé" se traduit par une rotation d'un demi-cercle (un angle plat).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Dans un système de projection plan, les directions du Nord en chaque point sont considérées comme parallèles. Par conséquent, la relation entre \(G_{\text{AB}}\) et \(G_{\text{BA}}\) est fixe. L'angle entre les deux directions est toujours de 200 grades (gon), ce qui correspond à un angle plat. Le calcul consiste donc à ajouter ou soustraire cette constante.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est la partie la plus simple du calcul, mais ne la négligez pas. L'erreur la plus fréquente n'est pas dans le calcul lui-même, mais dans le choix de l'opération. Demandez-vous simplement : "si j'ajoute 200, est-ce que je reste dans l'intervalle [0, 400] ?". Si la réponse est non, alors il faut soustraire.
Normes (la référence réglementaire)
C'est une convention de calcul fondamentale et universelle en topographie plane, découlant directement des axiomes de la géométrie euclidienne.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule générale du gisement inverse
La règle de décision est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
L'unique et principale hypothèse est celle du "parallélisme des Nord". On suppose que la direction du Nord au point A est parallèle à la direction du Nord au point B. Cette hypothèse est valide pour les levés planimétriques sur des zones de quelques kilomètres.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On utilise le gisement direct calculé précédemment :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Gisement direct | \(G_{\text{AB}}\) | 121.4552 | gon |
Astuces (Pour aller plus vite)
Le calcul est déjà très rapide. L'astuce consiste à vérifier la cohérence du quadrant. Notre gisement direct de 121.46 gon était dans le Sud-Est. Le gisement inverse doit donc être dans le Nord-Ouest (entre 300 et 400 gon). Notre calcul doit aboutir à une valeur dans cet intervalle.
Schéma (Avant les calculs)
Relation entre GAB et GBA
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul du gisement inverse
Schéma (Après les calculs)
Solution graphique
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat 321.4552 gon est bien dans le quadrant Nord-Ouest, comme anticipé. Il représente l'angle que le géomètre devra afficher sur son instrument à la station B pour viser précisément le point A.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne jamais additionner ou soustraire une autre valeur que 200 gon (ou 180° si vous travaillez en degrés). Toute autre valeur est incorrecte. Assurez-vous également de ne pas vous tromper dans une simple addition ou soustraction, ce qui peut arriver par inattention.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La relation Gisement Inverse = Gisement Direct ± 200 gon est une des relations les plus fondamentales et les plus utilisées en calculs topographiques. C'est un pilier à maîtriser absolument.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Sur de très longues distances, la courbure de la Terre fait que les directions du Nord aux points A et B ne sont plus parallèles. On parle alors de "convergence des méridiens". La différence entre le gisement inverse et le gisement direct + 200 gon n'est plus nulle et doit être calculée avec des formules géodésiques complexes. Pour un segment de 100 km à une latitude moyenne en France, cet écart est déjà significatif !
FAQ (pour lever les doutes)
La question la plus fréquente :
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si un gisement \(G_{\text{CD}}\) vaut 205.1140 gon, que vaut le gisement inverse \(G_{\text{DC}}\) ?
Outil Interactif : Simulateur de Gisement
Utilisez les curseurs pour modifier les écarts en coordonnées (ΔE et ΔN) et observez en temps réel l'impact sur la distance et les gisements direct et inverse.
Paramètres du Vecteur AB
Résultats Calculés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Un point B est situé au Nord-Ouest d'un point A. Quels sont les signes de ΔE (EB-EA) et ΔN (NB-NA) ?
2. Si un gisement GXY vaut 310 gon, que vaut le gisement inverse GYX ?
3. Si un gisement GXY vaut 85 gon, que vaut le gisement inverse GYX ?
4. En topographie, le grade (ou gon) divise le cercle en :
5. Laquelle de ces formules est correcte pour calculer une distance ?
- Gisement
- Angle mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre (sens horaire) entre la direction de référence Nord et une direction donnée. En topographie, il est généralement exprimé en grades (gon).
- Planimétrie
- Partie de la topographie qui s'occupe de la représentation sur un plan horizontal des détails du terrain, sans tenir compte des altitudes.
- Grade (gon)
- Unité de mesure d'angle où un cercle complet est divisé en 400 grades. Un angle droit mesure 100 grades.
D’autres exercices de calculs planimétriques:
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