Étude Topographique

Calcul des coordonnées d’un point par rayonnement

Topographie : Calcul des Coordonnées d'un Point par Rayonnement

Calcul des coordonnées d'un point par rayonnement

Contexte : Le Problème Direct Fondamental

Le calcul par rayonnementMéthode de levé topographique où l'on détermine les coordonnées de points en mesurant un angle et une distance depuis une station connue., aussi appelé "problème direct", est l'opération inverse du calcul de gisement. Il consiste à déterminer les coordonnées (X, Y) d'un nouveau point (P) à partir d'un point connu (la station S), d'une direction de référence (un gisement vers un autre point connu V0), de l'angle horizontal mesuré entre cette référence et le point P, et de la distance horizontale entre la station et P. C'est la méthode la plus utilisée pour effectuer un levé de détails ou pour implanter des points sur un chantier.

Remarque Pédagogique : Si le calcul de gisement et distance nous permet de "savoir où l'on va" à partir de deux points connus, le rayonnement nous permet de "créer un nouveau point" à partir d'un point connu et de mesures de terrain (angle et distance). Les deux sont les piliers de la planimétrie.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le gisement d'un point rayonné à partir d'un gisement de référence et d'un angle mesuré.
  • Calculer les variations de coordonnées (\(\Delta X, \Delta Y\)) à partir d'un gisement et d'une distance.
  • Appliquer ces variations pour calculer les coordonnées finales du point rayonné.
  • Comprendre la chaîne de calcul complète pour un levé par rayonnement.

Données de l'étude

Un géomètre est en station sur le point S. Il utilise le point V0 comme référence d'orientation et mesure l'angle horizontal et la distance pour lever le point P.

Schéma du Rayonnement
Y (Nord) S V0 P G SV0 Angle

Données :

  • Coordonnées de la station S : \(X_S = 1250.00 \, \text{m}\), \(Y_S = 4380.00 \, \text{m}\)
  • Gisement de la référence S vers V0 : \(G_{\text{SV0}} = 112.5000 \, \text{gon}\)
  • Angle horizontal mesuré entre V0 et P : \(\alpha = 325.1520 \, \text{gon}\) (mesuré dans le sens horaire)
  • Distance horizontale de S à P : \(D_{\text{SP}} = 85.42 \, \text{m}\)

Questions à traiter

  1. Calculer le gisement de la direction S vers P (\(G_{\text{SP}}\)).
  2. Calculer les variations de coordonnées \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) de S vers P.
  3. Calculer les coordonnées du point P (\(X_P, Y_P\)).

Correction : Calcul des coordonnées d'un point par rayonnement

Question 1 : Calcul du Gisement de la Visée

Principe :
N V0 P G SV0 Angle α

Le gisement de la direction vers le point P est obtenu en ajoutant l'angle mesuré \(\alpha\) au gisement de la direction de référence. Si la somme dépasse 400 gon, on soustrait 400 pour la ramener à un tour de cercle.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est le principe du "transport d'orientation". On connaît une direction (le gisement de la référence) et on s'en sert pour en déduire une nouvelle (le gisement du point à calculer) grâce à une mesure d'angle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ G_{\text{SP}} = G_{\text{SV0}} + \alpha \]
Donnée(s) :
  • \(G_{\text{SV0}} = 112.5000 \, \text{gon}\)
  • \(\alpha = 325.1520 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} G_{\text{SP}} &= 112.5000 + 325.1520 \\ &= 437.6520 \, \text{gon} \\ \text{Comme } & G > 400, \text{ on soustrait 400} \\ G_{\text{SP}} &= 437.6520 - 400 = 37.6520 \, \text{gon} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Sens de rotation : La formule \(G_{\text{référence}} + \alpha\) n'est valable que si l'angle \(\alpha\) a été mesuré dans le sens horaire (le sens de graduation du cercle). Si l'angle a été mesuré en sens anti-horaire, il faudrait le soustraire.

Le saviez-vous ?

La référence V0 n'a pas besoin d'être au Nord. Il peut s'agir de n'importe quel point stable et visible (clocher, château d'eau, autre borne...). Tant que le gisement depuis la station vers ce point est connu, il peut servir de référence.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi soustrait-on 400 ?

Un gisement est un angle qui doit être compris entre 0 et 400 gon. Si le calcul donne une valeur supérieure, cela signifie qu'on a fait plus d'un tour de cercle. On soustrait 400 pour revenir dans l'intervalle [0, 400[ tout en conservant la même direction.

Résultat : Le gisement de S vers P est de 37.6520 gon.

Question 2 : Calcul des Variations de Coordonnées

Principe :
ΔY ΔX Distance

En utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle formé par la distance et les axes, on peut calculer les projections \(\Delta X\) et \(\Delta Y\). \(\Delta Y\) est le côté adjacent au gisement, on utilise donc le cosinus. \(\Delta X\) est le côté opposé, on utilise le sinus.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est ici que la trigonométrie prend tout son sens. On décompose un vecteur (défini par sa longueur et son orientation) en ses composantes rectangulaires, ce qui nous permettra ensuite de les additionner aux coordonnées de départ.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta X = D \times \sin(G) \]
\[ \Delta Y = D \times \cos(G) \]
Donnée(s) :
  • \(G_{\text{SP}} = 37.6520 \, \text{gon}\)
  • \(D_{\text{SP}} = 85.42 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Delta X &= 85.42 \times \sin(37.6520 \, \text{gon}) = 85.42 \times 0.5555... = +47.45 \, \text{m} \\ \Delta Y &= 85.42 \times \cos(37.6520 \, \text{gon}) = 85.42 \times 0.8314... = +71.01 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Mode de la calculatrice : L'erreur la plus fréquente est de ne pas mettre sa calculatrice en mode "Grades" ou "Gons" pour le calcul. Si elle reste en mode "Degrés", les sinus et cosinus seront faux et le résultat complètement erroné.

Le saviez-vous ?

Les fonctions sinus et cosinus du gisement sont très pratiques : le signe du résultat donne directement le sens du déplacement. Par exemple, si le gisement est dans le Sud-Ouest (entre 200 et 300 gon), le sinus (\(\Delta X\)) et le cosinus (\(\Delta Y\)) seront tous les deux négatifs.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi sin(G) pour \(\Delta X\) et cos(G) pour \(\Delta Y\) ?

Cela vient de la définition du gisement, qui est l'angle avec l'axe Y (Nord). Dans le cercle trigonométrique topographique, \(\Delta Y\) est le côté adjacent à l'angle G (d'où le cosinus) et \(\Delta X\) est le côté opposé (d'où le sinus). C'est l'inverse du cercle trigonométrique mathématique classique où l'angle est mesuré depuis l'axe X.

Résultat : \(\Delta X = +47.45 \, \text{m}\) et \(\Delta Y = +71.01 \, \text{m}\).

Question 3 : Calcul des Coordonnées du Point P

Principe :
S (Xₛ, Yₛ) + ΔX + ΔY P (Xₚ, Yₚ)

L'étape finale consiste à ajouter les variations de coordonnées calculées aux coordonnées du point de départ (la station S) pour obtenir les coordonnées du nouveau point P.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ce calcul finalise le processus de rayonnement. On a transformé des mesures de terrain (angle, distance) en un résultat concret et utilisable : les coordonnées d'un nouveau point dans un système de référence donné.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ X_P = X_S + \Delta X \]
\[ Y_P = Y_S + \Delta Y \]
Donnée(s) :
  • \(X_S = 1250.00 \, \text{m}\), \(Y_S = 4380.00 \, \text{m}\)
  • \(\Delta X = +47.45 \, \text{m}\)
  • \(\Delta Y = +71.01 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} X_P &= 1250.00 + 47.45 = 1297.45 \, \text{m} \\ Y_P &= 4380.00 + 71.01 = 4451.01 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Erreur d'addition : Une simple erreur de calcul à cette étape peut ruiner tout le travail précédent. Il est toujours bon de vérifier ses additions, surtout lorsque l'on traite de longues listes de points.

Le saviez-vous ?

Cette méthode est à la base de l'implantation de projets. Les ingénieurs calculent les coordonnées de tous les points d'un projet (bâtiments, routes, etc.) sur ordinateur. Le géomètre utilise ensuite le rayonnement pour matérialiser ces points sur le terrain avec des piquets, exactement à l'endroit prévu.

FAQ en rapport avec la question :
Peut-on rayonner plusieurs points depuis la même station ?

Oui, c'est tout l'intérêt de la méthode. Une fois la station S installée et orientée sur V0, on peut mesurer les angles et distances de dizaines, voire de centaines de points (P1, P2, P3...) et calculer leurs coordonnées en répétant simplement ce processus.

Résultat : Les coordonnées du point P sont (1297.45 m, 4451.01 m).

Calculateur de Rayonnement

Entrez les coordonnées de votre station, votre orientation et vos mesures pour calculer les coordonnées du point rayonné.

Données de la Station
Mesures
Résultats Calculés
Gisement Calculé (Gsp)
ΔX
ΔY
X Point P
Y Point P

Le Saviez-Vous ?

Les systèmes GPS/GNSS de haute précision (RTK) effectuent ces calculs des milliers de fois par seconde. Ils calculent en permanence le "vecteur" (gisement et distance) entre l'antenne de base (point connu) et l'antenne mobile, pour en déduire les coordonnées de la mobile en temps réel.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si l'angle est mesuré en sens anti-horaire ?

Si l'angle \(\alpha\) est mesuré en sens anti-horaire (tournant à gauche), il faut le soustraire du gisement de référence au lieu de l'additionner : \(G_{\text{SP}} = G_{\text{SV0}} - \alpha\). Si le résultat est négatif, on lui ajoute 400 gon.

Comment obtient-on le gisement de référence \(G_{\text{SV0}}\) au départ ?

Il est lui-même calculé par le "problème inverse" (l'exercice précédent !). Pour connaître le gisement de S vers V0, il faut au préalable connaître les coordonnées des deux points S et V0.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Depuis un point A, avec un gisement de référence de 50 gon et un angle horaire mesuré de 75 gon, quel est le gisement de la visée ?

  • 375 gon

2. Pour un gisement de 300 gon (plein Ouest) et une distance de 100 m, quelles sont les variations de coordonnées ?

Glossaire

Rayonnement
Méthode de levé ou d'implantation d'un point en mesurant un angle et une distance depuis une station connue.
Calcul par Rayonnement (Problème Direct)
Calcul des coordonnées d'un point inconnu à partir des coordonnées d'un point connu, d'un gisement et d'une distance.
Gisement de référence
Direction dont l'orientation (gisement) est connue, servant de "zéro" pour la mesure des angles horizontaux.
Sinus et Cosinus (en topographie)
Fonctions trigonométriques utilisées avec le gisement pour projeter la distance sur les axes X et Y. \(\sin(G)\) pour \(\Delta X\) et \(\cos(G)\) pour \(\Delta Y\).
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