Calcul des coordonnées d'un point par rayonnement

Contexte : La Topographie PlanimétriquePartie de la topographie qui étudie l'ensemble des opérations permettant d'obtenir la représentation plane d'une portion de la surface terrestre, sans considération de l'altitude..

Le calcul par rayonnement est l'une des méthodes les plus fondamentales et les plus utilisées en topographie pour lever des points de détail. À partir d'une station (un point de coordonnées connues) et d'une référence (une direction connue), le topographe mesure un angle et une distance pour déterminer la position de nouveaux points. Cet exercice vous guidera à travers toutes les étapes de calcul pour déterminer les coordonnées d'un point P à partir d'une station A.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est essentiel pour maîtriser les calculs de base en topographie. Il vous apprendra à manipuler les gisements et à appliquer les formules trigonométriques pour passer des mesures de terrain (angles, distances) à des coordonnées cartésiennes (X, Y).

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et appliquer le principe du calcul par rayonnement.
Calculer un gisementAngle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (axe Y). Exprimé en grades ou gons. à partir des coordonnées de deux points connus.
Transporter un gisement en utilisant une lecture angulaire.
Calculer les coordonnées (X, Y) d'un point à partir d'un gisement et d'une distance.

Données de l'étude

Un géomètre-topographe se trouve sur le point A (la station) dont les coordonnées sont connues. Il souhaite déterminer les coordonnées d'un point P nouvellement matérialisé. Pour ce faire, il vise une référence R (un clocher d'église) également connue en coordonnées, puis mesure l'angle horizontal entre la direction AR et la direction AP, ainsi que la distance horizontale entre A et P.

Schéma de la situation sur le terrain

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coordonnées du point A	\(X_A, Y_A\)	500.00, 1000.00	mètres
Coordonnées du point R	\(X_R, Y_R\)	585.00, 1050.00	mètres
Angle horizontal mesuré en A	\(\alpha = \angle RAP\)	75.2550	gon (grades)
Distance horizontale mesurée	\(D_{AP}\)	120.45	mètres

Questions à traiter

Calculer le gisement de la direction AR (\(G_{AR}\)).
En déduire le gisement de la direction AP (\(G_{AP}\)).
Calculer les dénivelées en coordonnées (\(\Delta X_{AP}\) et \(\Delta Y_{AP}\)).
Déterminer les coordonnées finales du point P (\(X_P, Y_P\)).

Les bases de la Topographie

1. Le Gisement (G)
Le gisement d'une direction AB est l'angle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre, à partir de l'axe des Y (direction du Nord), vers la direction AB. L'unité d'angle légale en France pour la topographie est le grade (ou gon). On le calcule avec la formule suivante, en faisant attention au quadrant : \[ G_{\text{AB}} = \arctan\left(\frac{X_{\text{B}} - X_{\text{A}}}{Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}}}\right) \]

2. Calcul des Coordonnées
Une fois le gisement \(G_{\text{AP}}\) et la distance \(D_{\text{AP}}\) connus, on peut calculer les coordonnées du point P à partir de A : \[ X_{\text{P}} = X_{\text{A}} + D_{\text{AP}} \cdot \sin(G_{\text{AP}}) \] \[ Y_{\text{P}} = Y_{\text{A}} + D_{\text{AP}} \cdot \cos(G_{\text{AP}}) \] Assurez-vous que votre calculatrice est en mode "grades" (ou "gon").

Correction : Calcul des coordonnées d’un point par rayonnement

Question 1 : Calculer le gisement de la direction AR (\(G_{AR}\))

Principe

Pour trouver l'orientation de notre base de départ (la direction A vers R), nous devons calculer son gisement. Cela se fait en utilisant les coordonnées des deux points connus A et R, via une fonction trigonométrique (arc tangente) appliquée au rapport des différences de coordonnées.

Mini-Cours

Le calcul de gisement dépend du "quadrant" dans lequel se situe le point visé par rapport au point de station. Le quadrant est déterminé par les signes des différences de coordonnées (\(\Delta X\) et \(\Delta Y\)). Selon le quadrant, une correction de 200 gon ou 400 gon peut être nécessaire au résultat brut de l'arc tangente pour obtenir le gisement correct (entre 0 et 400 gon).

Remarque Pédagogique

Avant de vous lancer dans le calcul de l'arc tangente, prenez toujours l'habitude de calculer \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) d'abord. Leurs signes vous indiquent immédiatement dans quelle direction générale vous regardez (Nord-Est, Sud-Est, Sud-Ouest, Nord-Ouest) et vous permettent d'anticiper la plage de valeur de votre gisement.

Normes

Les calculs topographiques en France sont généralement effectués dans le système de coordonnées de référence légal, le RGF93 (Réseau Géodésique Français 1993), associé à une projection comme le Lambert-93. Pour cet exercice, nous travaillons dans un système local supposé correct.

Formule(s)

Formule du Gisement

G_{\text{AR}} = \arctan\left(\frac{\Delta X_{\text{AR}}}{\Delta Y_{\text{AR}}}\right) = \arctan\left(\frac{X_{\text{R}} - X_{\text{A}}}{Y_{\text{R}} - Y_{\text{A}}}\right) \quad (+ \text{correction selon quadrant})

Hypothèses

Nous faisons l'hypothèse que nous travaillons sur un plan horizontal (projection planimétrique), négligeant la courbure de la Terre. De plus, les coordonnées des points A et R sont considérées comme exemptes d'erreur.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coordonnées Point A	\(X_A, Y_A\)	500.00, 1000.00	m
Coordonnées Point R	\(X_R, Y_R\)	585.00, 1050.00	m

Astuces

Un simple coup d'œil aux coordonnées vous donne une idée : \(X_{\text{R}} > X_{\text{A}}\) (on va vers l'Est) et \(Y_{\text{R}} > Y_{\text{A}}\) (on va vers le Nord). La direction est donc Nord-Est, et le gisement doit obligatoirement être compris entre 0 et 100 gon. C'est un excellent moyen de vérifier votre résultat.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Calcul de la différence des abscisses \(\Delta X_{\text{AR}}\)

\begin{aligned} \Delta X_{\text{AR}} &= X_{\text{R}} - X_{\text{A}} \\ &= 585.00 - 500.00 \\ &= +85.00 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de la différence des ordonnées \(\Delta Y_{\text{AR}}\)

\begin{aligned} \Delta Y_{\text{AR}} &= Y_{\text{R}} - Y_{\text{A}} \\ &= 1050.00 - 1000.00 \\ &= +50.00 \text{ m} \end{aligned}

Calcul du gisement \(G_{\text{AR}}\)

On applique ensuite la formule de l'arc tangente. Comme \(\Delta X > 0\) et \(\Delta Y > 0\), nous sommes dans le premier quadrant (Nord-Est), donc il n'y a pas de correction à ajouter au résultat de l'arc tangente.

\begin{aligned} G_{\text{AR}} &= \arctan\left(\frac{85.00}{50.00}\right) \\ &= \arctan(1.7) \\ &\approx 65.5035 \text{ gon} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Le résultat de 65.5035 gon est bien compris entre 0 et 100 gon, ce qui confirme notre analyse préliminaire du quadrant Nord-Est. Le calcul est cohérent.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier la correction de quadrant. Si \(\Delta Y\) avait été négatif, le gisement aurait été dans le quadrant Sud-Est, et il aurait fallu ajouter 200 gon au résultat de la calculatrice (qui aurait été négatif).

Points à retenir

Le gisement se calcule via \(\arctan(\Delta X / \Delta Y)\).
Le signe de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) détermine le quadrant et l'éventuelle correction de +200 ou +400 gon.

Le saviez-vous ?

Le grade (ou gon) a été introduit durant la Révolution Française pour décimaliser les angles (un angle droit = 100 gon) et ainsi simplifier les calculs trigonométriques, en parfaite harmonie avec le reste du système métrique.

FAQ

Résultat Final

\(G_{\text{AR}} = 65.5035 \text{ gon}\)

A vous de jouer

Calculez le gisement inverse, \(G_{\text{RA}}\) (de R vers A). Quelle est sa valeur ? (Indice : il y a une différence de 200 gon).

Question 2 : En déduire le gisement de la direction AP (\(G_{AP}\))

Principe

Le gisement du point P est obtenu en ajoutant l'angle horizontal \(\alpha\), mesuré sur le terrain dans le sens horaire, au gisement de la référence \(G_{AR}\) que nous venons de calculer. C'est le principe même du "transport de gisement".

Mini-Cours

L'orientation d'une station est une étape cruciale. En visant un point connu (R), le topographe "cale" le cercle horizontal de son instrument sur le gisement connu \(G_{AR}\). Dès lors, toute lecture d'angle horizontal faite depuis cette station peut être directement ajoutée au gisement de référence pour obtenir le gisement de la nouvelle direction.

Remarque Pédagogique

Visualisez un compas. Le gisement de référence \(G_{AR}\) est votre première direction. L'angle mesuré \(\alpha\) est simplement la rotation que vous effectuez à partir de cette première direction pour viser votre nouvel objectif P. L'addition est donc logique.

Normes

La convention internationale en topographie veut que les angles horizontaux lus sur un théodolite ou un tachéomètre soient mesurés dans le sens horaire. Les instruments sont conçus pour fonctionner ainsi.

Formule(s)

Formule du Transport de Gisement

G_{\text{AP}} = G_{\text{AR}} + \alpha

Hypothèses

Nous supposons que l'instrument a été parfaitement mis en station (centré et verticalisé) au-dessus du point A et que la mesure de l'angle \(\alpha\) est exempte d'erreur instrumentale ou de lecture.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Gisement de référence	\(G_{AR}\)	65.5035	gon
Angle mesuré	\(\alpha\)	75.2550	gon

Astuces

Si votre résultat dépasse 400 gon (par exemple 450.25), il suffit de soustraire 400 pour revenir dans le cercle (50.25 gon). S'il est négatif, ajoutez 400. Un gisement est toujours une valeur positive entre 0 et 400 gon.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Calcul du gisement \(G_{\text{AP}}\)

On additionne simplement les deux valeurs angulaires.

\begin{aligned} G_{\text{AP}} &= G_{\text{AR}} + \alpha \\ &= 65.5035 + 75.2550 \\ &= 140.7585 \text{ gon} \end{aligned}

Le résultat est compris entre 0 et 400 gon, donc aucune correction (comme ajouter ou soustraire 400) n'est nécessaire.

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Le gisement obtenu de 140.7585 gon est compris entre 100 et 200 gon, ce qui le place dans le quadrant Sud-Est. C'est cohérent avec le schéma : on partait vers le Nord-Est (\(G_{AR}\)) et on a tourné d'environ 75 gon (un peu moins qu'un angle droit) dans le sens horaire.

Points de vigilance

Attention à la convention des angles. En topographie, les angles sont généralement mesurés dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre). Si l'angle était mesuré dans le sens anti-horaire, il faudrait le soustraire.

Points à retenir

La formule fondamentale du transport de gisement est : \(G_{\text{nouveau}} = G_{\text{référence}} + \text{Angle horizontal mesuré}\). C'est la base de tout levé par rayonnement.

Le saviez-vous ?

Les tachéomètres modernes robotisés peuvent être orientés automatiquement. Après la mise en station, l'appareil peut scanner son environnement pour retrouver des cibles connues et calculer lui-même son orientation sans que l'opérateur n'ait à viser manuellement la référence.

FAQ

Résultat Final

\(G_{\text{AP}} = 140.7585 \text{ gon}\)

A vous de jouer

Si l'angle \(\alpha\) avait été mesuré dans le sens anti-horaire, quel aurait été le gisement \(G_{AP}\) ?

Question 3 : Calculer les dénivelées en coordonnées (\(\Delta X_{AP}\) et \(\Delta Y_{AP}\))

Principe

Les "dénivelées en coordonnées" sont les projections de la droite AP sur les axes X et Y. Elles représentent de combien il faut se déplacer le long de l'axe X, puis de l'axe Y, pour aller du point A au point P. On les calcule avec les formules de trigonométrie de base, en utilisant le gisement et la distance mesurée.

Mini-Cours

Ce calcul est une conversion de coordonnées polaires (système Gisement, Distance) en coordonnées cartésiennes (système \(\Delta X, \Delta Y\)). Le cercle trigonométrique utilisé en topographie est particulier : l'angle (gisement) part de l'axe Y (Nord) et tourne dans le sens horaire. C'est pour cela que \(\Delta X\) est associé au sinus et \(\Delta Y\) au cosinus, contrairement au cercle mathématique standard.

Remarque Pédagogique

Imaginez un triangle rectangle dont la distance mesurée \(D_{AP}\) est l'hypoténuse. Le côté opposé à l'angle (gisement) est \(\Delta X\), et le côté adjacent est \(\Delta Y\). Les formules \(sin = \text{opposé}/\text{hypoténuse}\) et \(cos = \text{adjacent}/\text{hypoténuse}\) deviennent alors évidentes.

Normes

Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont universelles. La seule norme à respecter ici est d'utiliser un calculateur ou un logiciel qui gère correctement l'unité d'angle utilisée (grades/gons pour cet exercice).

Formule(s)

Formules des Différences de Coordonnées

\Delta X_{\text{AP}} = D_{\text{AP}} \cdot \sin(G_{\text{AP}})

\Delta Y_{\text{AP}} = D_{\text{AP}} \cdot \cos(G_{\text{AP}})

Hypothèses

Nous supposons que la distance \(D_{AP}\) est bien la distance horizontale et non la distance inclinée mesurée sur le terrain. Si c'était une distance inclinée, il faudrait d'abord la réduire à l'horizon en utilisant l'angle vertical.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Distance horizontale	\(D_{AP}\)	120.45	m
Gisement calculé	\(G_{AP}\)	140.7585	gon

Astuces

Avant de taper sur la calculatrice, prédisez les signes ! Un gisement entre 100 et 200 gon (Sud-Est) doit donner un \(\Delta X\) positif et un \(\Delta Y\) négatif. Si ce n'est pas le cas, vous avez probablement fait une erreur de mode (degrés au lieu de grades) ou de formule.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Calcul de la dénivelée en abscisse \(\Delta X_{\text{AP}}\)

\begin{aligned} \Delta X_{\text{AP}} &= D_{\text{AP}} \cdot \sin(G_{\text{AP}}) \\ &= 120.45 \times \sin(140.7585) \\ &= 120.45 \times 0.88275 \\ &\approx +106.33 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de la dénivelée en ordonnée \(\Delta Y_{\text{AP}}\)

\begin{aligned} \Delta Y_{\text{AP}} &= D_{\text{AP}} \cdot \cos(G_{\text{AP}}) \\ &= 120.45 \times \cos(140.7585) \\ &= 120.45 \times (-0.47248) \\ &\approx -56.91 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Le gisement de 140.76 gon se situe dans le deuxième quadrant (Sud-Est). Il est donc logique que la variation en X soit positive (vers l'Est) et que la variation en Y soit négative (vers le Sud). Les signes des résultats sont conformes à la théorie.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente à ce stade est d'utiliser une calculatrice en mode Degrés (DEG) ou Radians (RAD) au lieu du mode Grades (GRAD). Vérifiez toujours le mode de votre calculatrice avant de calculer un sinus ou un cosinus d'un gisement.

Points à retenir

\(\Delta X = D \cdot \sin(G)\)
\(\Delta Y = D \cdot \cos(G)\)
L'association (X avec sin) et (Y avec cos) est spécifique au système de gisement topographique.

Le saviez-vous ?

La raison pour laquelle la topographie utilise un cercle trigonométrique "inversé" (Nord = 0, sens horaire) remonte aux origines de la navigation et de l'arpentage avec des boussoles, où le Nord était la référence naturelle et les compas gradués dans le sens horaire.

FAQ

Résultat Final

Les dénivelées en coordonnées sont \(\Delta X_{\text{AP}} = +106.33 \text{ m}\) et \(\Delta Y_{\text{AP}} = -56.91 \text{ m}\).

A vous de jouer

Si la distance mesurée avait été de 100.00 m exactement, quelles auraient été les valeurs de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) ?

Question 4 : Déterminer les coordonnées finales du point P (\(X_P, Y_P\))

Principe

C'est l'étape finale. Pour obtenir les coordonnées du point P, il suffit d'ajouter les variations \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) que nous venons de calculer aux coordonnées de départ du point A.

Mini-Cours

Ce calcul est une simple translation de vecteur. En termes de géométrie vectorielle, on peut écrire : \(\vec{P} = \vec{A} + \vec{AP}\). Le vecteur position du point P (\(\vec{P}\)) est égal au vecteur position de la station A (\(\vec{A}\)) auquel on ajoute le vecteur déplacement de A vers P (\(\vec{AP}\)), dont les composantes sont (\(\Delta X_{AP}, \Delta Y_{AP}\)).

Remarque Pédagogique

Cette dernière étape est la plus simple en termes de calcul, mais elle est l'aboutissement de tout le processus. Prenez soin de bien reporter les valeurs et surtout les signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\). Une simple erreur d'inattention ici fausserait le résultat final.

Normes

Les coordonnées finales doivent être exprimées avec un nombre de décimales cohérent avec les données d'entrée. En topographie métrique, on travaille le plus souvent avec 2 ou 3 décimales (précision centimétrique ou millimétrique).

Formule(s)

Formules des Coordonnées Finales

X_{\text{P}} = X_{\text{A}} + \Delta X_{\text{AP}}

Y_{\text{P}} = Y_{\text{A}} + \Delta Y_{\text{AP}}

Hypothèses

Nous supposons que les coordonnées de départ de la station A sont définitives et ne seront pas réajustées. Dans un grand projet, les coordonnées des stations peuvent être recalculées et compensées, ce qui entraînerait un recalcul de tous les points rayonnés.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coordonnées de A	\(X_A, Y_A\)	500.00, 1000.00	m
Dénivelées calculées	\(\Delta X_{AP}, \Delta Y_{AP}\)	+106.33, -56.91	m

Astuces

Pour un contrôle rapide, vous pouvez inverser le calcul : à partir des coordonnées de A et de vos coordonnées calculées pour P, recalculez le gisement et la distance. Vous devriez retomber sur vos valeurs de départ (\(G_{AP}\) et \(D_{AP}\)). C'est une excellente méthode de vérification.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Calcul de la coordonnée \(X_{\text{P}}\)

\begin{aligned} X_{\text{P}} &= X_{\text{A}} + \Delta X_{\text{AP}} \\ &= 500.00 + 106.33 \\ &= 606.33 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de la coordonnée \(Y_{\text{P}}\)

\begin{aligned} Y_{\text{P}} &= Y_{\text{A}} + \Delta Y_{\text{AP}} \\ &= 1000.00 + (-56.91) \\ &= 943.09 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Les coordonnées finales du point P (X=606.33, Y=943.09) sont cohérentes. Par rapport au point A (X=500, Y=1000), la coordonnée X a augmenté et la coordonnée Y a diminué, ce qui correspond bien à une position au Sud-Est, comme prédit par le gisement de 140.76 gon.

Points de vigilance

Faites très attention au signe de \(\Delta Y\). Ici, il est négatif. L'opération est donc \(1000.00 - 56.91\). Une erreur fréquente est d'additionner sans tenir compte du signe, ce qui placerait le point P complètement au mauvais endroit (au Nord-Est).

Points à retenir

La méthode complète du rayonnement se résume à cette chaîne de calculs : Coordonnées de départ \(\Rightarrow\) Gisement de référence \(\Rightarrow\) Gisement du point levé \(\Rightarrow\) Dénivelées en coordonnées \(\Rightarrow\) Coordonnées finales. Chaque étape dépend de la précédente.

Le saviez-vous ?

Le même principe de calcul de coordonnées (\(X = X_{\text{départ}} + \Delta X\)) est utilisé par les systèmes de guidage inertiel des avions, des sous-marins ou des fusées. Ils intègrent en continu des accélérations pour calculer des vecteurs de déplacement (\(\Delta X, \Delta Y, \Delta Z\)) qui sont ajoutés à la dernière position connue.

FAQ

Résultat Final

Les coordonnées du point P sont : \(X_{\text{P}} = 606.33 \text{ m}\) et \(Y_{\text{P}} = 943.09 \text{ m}\).

A vous de jouer

Si la station de départ A avait eu pour coordonnées (1000.00, 2000.00), quelles auraient été les nouvelles coordonnées du point P (en gardant les mêmes mesures) ?

Outil Interactif : Simulateur de Rayonnement

Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier l'angle mesuré et la distance au point P, et observez en temps réel comment ses coordonnées finales sont affectées. Les coordonnées de A et R restent fixes.

Paramètres d'Entrée

Angle mesuré \(\alpha\) (gon) 75.3 gon

Distance mesurée \(D_{AP}\) (m) 120.5 m

Résultats Clés

Coordonnée \(X_P\) (m) -

Coordonnée \(Y_P\) (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce qu'un gisement en topographie ?

L'angle vertical entre l'horizon et un point visé.
La distance mesurée entre deux points.
L'angle horizontal depuis le Nord vers une direction, dans le sens horaire.

2. Si \(\Delta X\) est négatif et \(\Delta Y\) est positif, le gisement se trouve dans quel quadrant ?

Quadrant 1 (Nord-Est)
Quadrant 4 (Nord-Ouest)
Quadrant 3 (Sud-Ouest)

3. Dans la formule \(X_{\text{P}} = X_{\text{A}} + D \cdot \sin(G)\), en quelle unité l'angle G doit-il être ?

En grades (gon) ou en radians, selon le mode de la calculatrice.
Uniquement en degrés sexagésimaux.
L'unité n'a pas d'importance.

Gisement: Angle horizontal mesuré dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) à partir de la direction de référence Nord (axe Y) jusqu'à une direction donnée. L'unité est généralement le grade (gon).
Station: Point géodésique ou topographique dont les coordonnées sont connues, sur lequel un instrument (comme un tachéomètre) est positionné pour effectuer des mesures.
Rayonnement: Méthode de levé topographique qui consiste à déterminer la position de points en mesurant des angles et des distances à partir d'une seule station connue.