Calcul du gisement et de la distance entre 2 points connus
Contexte : Le Problème Inverse Fondamental
En topographie, l'un des calculs les plus fondamentaux est de déterminer la relation géométrique entre deux points dont on connaît les coordonnées (X, Y). Ce "problème inverse" consiste à calculer deux grandeurs essentielles : le gisementAngle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (axe Y) jusqu'à la direction d'un point., qui est l'orientation de la ligne reliant les deux points par rapport au Nord, et la distanceDistance horizontale entre deux points, calculée à partir de leurs différences de coordonnées en utilisant le théorème de Pythagore. qui les sépare. Ces deux valeurs sont la base de presque tous les autres calculs planimétriques, comme les cheminements, les implantations ou les levés de détails.
Remarque Pédagogique : Maîtriser ce calcul, c'est comme apprendre l'alphabet de la topographie. Il transforme des coordonnées abstraites en informations concrètes et utilisables sur le terrain : une direction à suivre (le gisement) et une longueur à mesurer (la distance).
Objectifs Pédagogiques
- Calculer les différences de coordonnées (\(\Delta X, \Delta Y\)) entre deux points.
- Appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la distance horizontale.
- Calculer le gisement d'une direction à l'aide de la fonction arc tangente.
- Comprendre l'importance des quadrants pour déterminer correctement le gisement.
- Résoudre un problème topographique de base à partir de coordonnées.
Données de l'étude
Schéma de la Situation
| Point | Coordonnée X (m) | Coordonnée Y (m) |
|---|---|---|
| A | 520.45 | 310.80 |
| B | 595.12 | 372.65 |
Questions à traiter
- Calculer les différences de coordonnées \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) de A vers B.
- Calculer la distance horizontale \(D_{\text{AB}}\).
- Calculer le gisement \(G_{\text{AB}}\) en gons.
Correction : Calcul du gisement et de la distance entre 2 points connus
Question 1 : Calcul des Différences de Coordonnées
Principe :
La première étape consiste à calculer les composantes du vecteur AB selon les axes X et Y. On les obtient en faisant la différence des coordonnées du point d'arrivée (B) et du point de départ (A).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Le signe de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) est fondamental. Il nous indique dans quelle direction on se déplace. Ici, \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) seront tous les deux positifs, ce qui signifie qu'on se déplace vers l'Est (\(\Delta X > 0\)) et vers le Nord (\(\Delta Y > 0\)).
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(X_A = 520.45 \, \text{m}\), \(Y_A = 310.80 \, \text{m}\)
- \(X_B = 595.12 \, \text{m}\), \(Y_B = 372.65 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Respecter l'ordre : Toujours calculer "coordonnée du point final moins coordonnée du point initial". Inverser cet ordre (\(X_A - X_B\)) donnerait le gisement opposé (\(G_{BA}\)), décalé de 200 gon.
Le saviez-vous ?
Question 2 : Calcul de la Distance Horizontale
Principe :
La distance horizontale entre A et B est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par \(\Delta X\) et \(\Delta Y\). On la calcule simplement avec le théorème de Pythagore.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Ce calcul donne la distance "à vol d'oiseau" sur une carte. C'est la distance qui sera utilisée pour tous les reports et calculs planimétriques, et non la distance réelle que l'on parcourrait sur un terrain en pente.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(\Delta X = 74.67 \, \text{m}\)
- \(\Delta Y = 61.85 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Carré d'un négatif : Si \(\Delta X\) ou \(\Delta Y\) est négatif, son carré sera toujours positif. Une erreur courante à la calculatrice est d'oublier les parenthèses, par exemple en tapant `-5²` qui peut être interprété comme `-(5²)=-25` au lieu de `(-5)²=25`.
Le saviez-vous ?
Question 3 : Calcul du Gisement
Principe :
Le gisement est l'angle entre l'axe des Y (le Nord) et la direction AB, compté dans le sens horaire. On l'obtient grâce à la fonction arc tangente. L'utilisation de la fonction `atan2(\(\Delta X, \Delta Y\))` est recommandée car elle gère automatiquement les quatre quadrants et donne un résultat sans ambiguïté.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Le gisement est une orientation absolue. Une fois que vous avez le gisement de A vers B, vous pouvez orienter votre instrument en station en A, viser B, et "caler" votre cercle horizontal sur la valeur du gisement calculé. Toutes vos lectures suivantes seront alors directement en gisement.
Formule(s) utilisée(s) :
Où C est une constante de correction dépendant du quadrant : C=0 si \(\Delta Y > 0\), C=200 si \(\Delta Y < 0\), et C=100 (si \(\Delta X > 0\)) ou 300 (si \(\Delta X < 0\)) si \(\Delta Y = 0\).
Calcul(s) :
Puisque \(\Delta X > 0\) et \(\Delta Y > 0\), nous sommes dans le premier quadrant (Nord-Est), donc aucune correction n'est nécessaire. Le gisement est bien \(55.9545 \, \text{gon}\).
Points de vigilance :
La gestion des quadrants : C'est l'étape la plus délicate. Une simple calculatrice `tan⁻¹` donnera un angle entre -100 et +100 gon. Il est impératif d'analyser les signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) pour savoir s'il faut ajouter 200 ou 400 gon au résultat pour obtenir le gisement correct. C'est pourquoi la fonction `atan2` des langages de programmation est si utile.
Le saviez-vous ?
Calculateur de Gisement & Distance
Entrez les coordonnées de vos points de départ et d'arrivée pour calculer instantanément la distance et le gisement.
Coordonnées du Point A (Départ)
Coordonnées du Point B (Arrivée)
Résultats Calculés
Le Saviez-Vous ?
Ce calcul est le "problème inverse". Le "problème direct", tout aussi fondamental, consiste à faire l'inverse : à partir d'un point connu (A), d'un gisement et d'une distance, calculer les coordonnées du nouveau point (B). Les formules sont : \(X_B = X_A + D \times \sin(G)\) et \(Y_B = Y_A + D \times \cos(G)\).
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si \(\Delta Y\) est nul ?
Si \(\Delta Y = 0\), la division par zéro est impossible. Cela signifie que la direction est plein Est (\(G=100\) gon si \(\Delta X > 0\)) ou plein Ouest (\(G=300\) gon si \(\Delta X < 0\)). La fonction `atan2` gère ce cas automatiquement.
Comment passer des gons aux degrés ?
La relation est simple : \(360^\circ = 400 \text{ gon}\). Pour convertir des gons en degrés, on multiplie par 0.9 (\( \text{deg} = \text{gon} \times 360/400 \)). Pour convertir des degrés en gons, on divise par 0.9 (\( \text{gon} = \text{deg} / 0.9 \)).
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Les coordonnées de A sont (100, 100) et celles de B sont (100, 50). Quel est le gisement de A vers B ?
- 200 gon (Sud)
2. Si \(\Delta X = -30\) m et \(\Delta Y = +40\) m, la distance est :
Glossaire
- Gisement
- Angle mesuré dans le sens horaire, à partir de la direction du Nord (axe des Y), vers une direction donnée. C'est l'orientation d'un segment.
- Coordonnées Planimétriques
- Couple de valeurs (X, Y) qui définit la position d'un point sur un plan. En topographie, X est souvent l'Est et Y le Nord.
- Calcul de Gisement
- Opération consistant à déterminer le gisement et la distance entre deux points dont les coordonnées sont connues. C'est le "deuxième problème fondamental" de la topographie.
- Quadrant
- Chacune des quatre régions du plan définies par les axes de coordonnées. Le quadrant est déterminé par les signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\), et il est crucial pour le calcul correct du gisement.
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