Calcul de Gisement et de Distance
Contexte : Les Calculs PlanimétriquesEnsemble des calculs topographiques permettant de déterminer les positions relatives des points en projection sur un plan horizontal, sans tenir compte de l'altitude..
L'un des problèmes fondamentaux en topographie est de déterminer la distance et l'orientation (le gisement) d'une ligne droite entre deux points dont on connaît les coordonnées. Cette opération est cruciale pour les levés de terrain, la cartographie, l'implantation d'ouvrages de génie civil ou la définition de limites de propriété. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de ce calcul essentiel.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour maîtriser la relation entre les coordonnées rectangulaires (X, Y) et les coordonnées polaires (Distance, Gisement), une compétence de base pour tout technicien topographe.
Objectifs Pédagogiques
- Savoir calculer la différence des coordonnées \( \Delta X, \Delta Y \) entre deux points.
- Appliquer la formule pour calculer la distance horizontale entre deux points.
- Maîtriser le calcul du gisement d'une direction en tenant compte du bon quadrant.
Données de l'étude
Coordonnées des Points
| Point | X (Est) [m] | Y (Nord) [m] |
|---|---|---|
| A | 520.45 | 1350.78 |
| B | 735.12 | 1180.25 |
Représentation des points dans le plan
Questions à traiter
- Calculer les différences de coordonnées \( \Delta X \) (entre A et B) et \( \Delta Y \) (entre A et B).
- Calculer la distance horizontale \( D_{AB} \) entre les points A et B.
- Déterminer dans quel quadrant se situe la direction AB.
- Calculer le gisement \( G_{AB} \) (de A vers B) en grades (gon).
Les bases du calcul planimétrique
En topographie, les calculs planimétriques sont effectués dans un système de coordonnées cartésien local où l'axe des Y est orienté vers le Nord et l'axe des X vers l'Est.
1. Distance entre deux points
La distance horizontale entre deux points A et B est calculée en appliquant le théorème de Pythagore sur le triangle rectangle formé par les différences de coordonnées \( \Delta X \) et \( \Delta Y \).
\[ D_{\text{AB}} = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2} = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \]
2. Gisement d'une direction
Le gisement d'une direction AB est l'angle horizontal mesuré dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) à partir de la direction du Nord (axe Y) jusqu'à la direction AB. Il s'exprime généralement en grades (ou gons), où un tour complet vaut 400 gon. La formule de base dépend de la correction de quadrant.
\[ G_{\text{AB}} = \arctan\left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right) + C \]
Avec C une constante dépendant du quadrant (0, 200 ou 400 gon).
Correction : Calcul de Gisement et de Distance
Question 1 : Calculer les différences de coordonnées \( \Delta X \) et \( \Delta Y \)
Principe
La première étape consiste à calculer la variation sur l'axe des Est (\( \Delta X \)) et sur l'axe des Nord (\( \Delta Y \)) pour aller du point de départ (A) au point d'arrivée (B). Il s'agit d'une simple soustraction des coordonnées correspondantes, en faisant attention à l'ordre (arrivée - départ).
Mini-Cours
Les coordonnées planimétriques définissent la position d'un point sur une surface plane. En topographie, le système est un repère orthonormé direct où l'axe Y représente le Nord (les "ordonnées") et l'axe X représente l'Est (les "abscisses"). La différence de coordonnées, notée \( \Delta \) (Delta), représente les composantes du vecteur allant du premier point au second.
Remarque Pédagogique
Pensez toujours au calcul de \( \Delta X \) et \( \Delta Y \) comme un "trajet". Pour aller de A à B, de combien dois-je me déplacer vers l'Est (\( \Delta X \)) et de combien vers le Nord (\( \Delta Y \)) ? L'ordre est crucial : `Coordonnée du point d'arrivée - Coordonnée du point de départ`.
Normes
Ce calcul est la base de toute la géodésie et de la topographie. En France, les coordonnées sont généralement exprimées dans des systèmes de projection conique conforme comme le Lambert-93, qui fait partie du système géodésique national RGF93.
Formule(s)
Formule pour la différence des abscisses
Formule pour la différence des ordonnées
Hypothèses
L'unique hypothèse est que les deux points A et B sont exprimés dans le même système de coordonnées planimétriques.
Donnée(s)
| Point | X [m] | Y [m] |
|---|---|---|
| A | 520.45 | 1350.78 |
| B | 735.12 | 1180.25 |
Astuces
Avant de calculer, regardez les coordonnées. X de B est plus grand que X de A, donc \( \Delta X \) sera positif. Y de B est plus petit que Y de A, donc \( \Delta Y \) sera négatif. Cette vérification rapide permet de valider le signe de vos résultats.
Schéma (Avant les calculs)
Vecteur déplacement AB
Calcul(s)
Calcul de \( \Delta X \)
Calcul de \( \Delta Y \)
Réflexions
Un \( \Delta X \) positif de 214.67 m signifie que le point B est à l'Est du point A. Un \( \Delta Y \) négatif de -170.53 m signifie que le point B est au Sud du point A. On a donc un déplacement vers le Sud-Est.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'inverser l'opération (faire A - B au lieu de B - A). Cela inverserait les signes de \( \Delta X \) et \( \Delta Y \), ce qui correspondrait au trajet de B vers A, et non de A vers B.
Points à retenir
Pour trouver les composantes du vecteur allant d'un point de départ à un point d'arrivée, la règle est toujours : Arrivée - Départ.
Le saviez-vous ?
Le concept de coordonnées cartésiennes a été développé par le philosophe et mathématicien français René Descartes au 17ème siècle. Il a révolutionné les mathématiques en créant un lien entre l'algèbre et la géométrie.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si un point C a pour coordonnées (X=450.15, Y=1420.90), quel est le \( \Delta X \) pour le trajet de A vers C ?
Question 2 : Calculer la distance horizontale \( D_{AB} \)
Principe
La distance entre A et B est l'hypoténuse du triangle rectangle dont les côtés adjacents sont les valeurs absolues de \( \Delta X \) et \( \Delta Y \). On utilise le théorème de Pythagore, l'un des outils les plus fondamentaux de la géométrie.
Mini-Cours
Le théorème de Pythagore stipule que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. En topographie, \( \Delta X \) et \( \Delta Y \) forment les deux côtés de l'angle droit, et la distance \( D_{AB} \) est l'hypoténuse.
Remarque Pédagogique
La distance est une grandeur scalaire, elle est donc toujours positive. C'est pourquoi on utilise les carrés des deltas dans la formule, ce qui annule l'effet de leurs signes négatifs.
Normes
Ce calcul de distance euclidienne est universel. Il est la base des mesures de longueur dans tous les manuels de topographie et normes de calculs géodésiques, que ce soit pour des levés locaux ou des systèmes nationaux.
Formule(s)
Théorème de Pythagore appliqué à la topographie
Hypothèses
On suppose que le terrain entre A et B est plat (projection horizontale). Ce calcul ne tient pas compte de la dénivelée (\( \Delta Z \)) ni de la courbure de la Terre. Pour des distances courtes, cette approximation est tout à fait valable.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \( \Delta X \) | 214.67 m |
| \( \Delta Y \) | -170.53 m |
Astuces
Pour une estimation rapide, la distance sera toujours supérieure à la plus grande des valeurs absolues de \( \Delta X \) ou \( \Delta Y \), et inférieure à leur somme. Ici, \( D_{AB} \) doit être entre 214.67 m et (214.67 + 170.53) = 385.20 m. C'est un bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur de votre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle rectangle pour le calcul de distance
Calcul(s)
On insère les valeurs dans la formule et on procède au calcul étape par étape.
Schéma (Après les calculs)
Distance calculée
Réflexions
La distance calculée est de 274.16 m. Cette valeur est cohérente avec notre estimation (entre 214.67 m et 385.20 m). Elle représente la distance "à vol d'oiseau" entre les deux bornes si le terrain était parfaitement plat.
Points de vigilance
- Ne pas oublier de prendre la racine carrée à la fin du calcul de la somme des carrés.
- Attention en utilisant la calculatrice : \((-170.53)^2\) est positif. Une erreur de saisie comme \(-170.53^2\) pourrait être interprétée comme \( -(170.53^2) \) et donner un résultat négatif, ce qui est impossible.
Points à retenir
La distance entre deux points est la racine carrée de la somme des carrés des différences de coordonnées. C'est une application directe et constante du théorème de Pythagore.
Le saviez-vous ?
Bien que le théorème soit attribué à Pythagore de Samos (Grèce, 6ème siècle av. J.-C.), des preuves de sa connaissance existent dans des civilisations bien plus anciennes, comme à Babylone près de 1000 ans auparavant !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si pour un trajet CD, on a \( \Delta X = 125.50 \text{ m} \) et \( \Delta Y = -210.20 \text{ m} \), quelle est la distance \( D_{CD} \) ?
Question 3 : Déterminer le quadrant de la direction AB
Principe
Le quadrant est déterminé par les signes de \( \Delta X \) et \( \Delta Y \). L'axe des Y pointe vers le Nord et l'axe des X vers l'Est. Il faut analyser si l'on se déplace vers l'Est/Ouest (signe de \( \Delta X \)) et vers le Nord/Sud (signe de \( \Delta Y \)).
Réflexions
Nous avons trouvé :
- \( \Delta X = +214.67 \text{ m} \) : le signe positif indique un déplacement vers l'Est.
- \( \Delta Y = -170.53 \text{ m} \) : le signe négatif indique un déplacement vers le Sud.
Un déplacement vers le Sud et vers l'Est correspond au quadrant Sud-Est.
Schéma d'aide
Les 4 quadrants topographiques
Résultat Final
Question 4 : Calculer le gisement \( G_{AB} \) en grades (gon)
Principe
Le gisement est l'angle qui définit l'orientation. Il est calculé via la fonction trigonométrique arc tangente appliquée au rapport des déplacements (\( \Delta X/\Delta Y \)). La valeur brute de l'arc tangente doit être ajustée en fonction du quadrant pour obtenir l'angle correct mesuré depuis le Nord dans le sens horaire.
Mini-Cours
La fonction \( \arctan(\Delta X/\Delta Y) \) ne retourne qu'un angle entre -100 gon et +100 gon. Pour couvrir le cercle complet (0 à 400 gon), on applique une correction :
- Q1 (N-E) : \( \Delta X>0, \Delta Y>0 \) \( \Rightarrow G = \arctan(\Delta X/\Delta Y) \)
- Q2 (S-E) : \( \Delta X>0, \Delta Y<0 \) \( \Rightarrow G = \arctan(\Delta X/\Delta Y) + 200 \)
- Q3 (S-O) : \( \Delta X<0, \Delta Y<0 \) \( \Rightarrow G = \arctan(\Delta X/\Delta Y) + 200 \)
- Q4 (N-O) : \( \Delta X<0, \Delta Y>0 \) \( \Rightarrow G = \arctan(\Delta X/\Delta Y) + 400 \)
Remarque Pédagogique
Visualisez toujours la direction sur un simple croquis avant le calcul. Ici, on va vers le Sud-Est, donc on s'attend à un angle entre 100 gon (Est) et 200 gon (Sud). Cela vous donnera un moyen infaillible de vérifier la plausibilité de votre résultat final.
Normes
L'utilisation du grade (ou gon) est une convention normalisée dans de nombreux pays européens, dont la France, pour les travaux de topographie et de génie civil. Elle simplifie les calculs d'angles droits (100 gon) et de fractions d'angles.
Formule(s)
Formule pour le quadrant Sud-Est
Hypothèses
On suppose que la direction de référence du Nord (Y=0 gon) est connue et non-ambiguë (généralement le Nord Lambert).
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \( \Delta X \) | 214.67 m |
| \( \Delta Y \) | -170.53 m |
Astuces
De nombreuses calculatrices scientifiques possèdent une fonction de conversion Polaire `Pol(\( \Delta X, \Delta Y \))` qui donne directement la distance et l'angle. Attention cependant, l'angle donné est souvent un angle mathématique (anti-horaire depuis l'axe X) qu'il faut ensuite convertir en gisement topographique.
Schéma (Avant les calculs)
Angle à calculer
Calcul(s)
Calcul de l'angle de base
Correction de quadrant
Schéma (Après les calculs)
Représentation du Gisement \( G_{AB} \)
Réflexions
Le résultat de 143.41 gon est bien compris entre 100 gon (Est) et 200 gon (Sud), ce qui est parfaitement cohérent avec une direction Sud-Est. La visualisation confirme la validité du calcul.
Points de vigilance
- Le mode de la calculatrice (DEG, RAD, GRAD) est la source d'erreur N°1 !
- Appliquer la mauvaise formule de correction de quadrant.
- Inverser \( \Delta X \) et \( \Delta Y \) dans la fraction, ce qui donnerait un angle par rapport à l'Est.
Points à retenir
Le calcul du gisement se fait en deux temps : 1. Calcul de l'angle de base avec `arctan(\( \Delta X/\Delta Y \))`. 2. Ajout de la constante (0, 200 ou 400) en fonction du quadrant déterminé par les signes de \( \Delta X \) et \( \Delta Y \).
Le saviez-vous ?
Le grade (gon) a été introduit en France peu après la Révolution française, en même temps que le système métrique. L'idée était de décimaliser toutes les unités, y compris les angles, pour simplifier les calculs. Un angle droit valant 100 grades était jugé plus pratique que 90 degrés.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Pour un trajet EF, on a \( \Delta X = -85.20 \text{ m} \) et \( \Delta Y = 150.00 \text{ m} \). Quel est le gisement \( G_{EF} \) ?
Outil Interactif : Simulateur de Gisement et Distance
Utilisez les curseurs pour faire varier \( \Delta X \) et \( \Delta Y \) et observez en temps réel l'impact sur la distance et le gisement. Cela vous aidera à visualiser la relation entre les coordonnées cartésiennes et polaires.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. En topographie, que représente la valeur \( \Delta X \) ?
2. Si \( \Delta X \) est négatif et \( \Delta Y \) est positif, dans quel quadrant se trouve-t-on ?
3. Un cercle complet en topographie compte :
4. Si le gisement de A vers B (\( G_{AB} \)) est de 50 gon, quel est le gisement de B vers A (\( G_{BA} \)) ?
5. Si \( \Delta Y \) est nul et \( \Delta X \) est positif, que vaut le gisement ?
- Gisement
- Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord. Il définit l'orientation d'une direction dans le plan.
- Planimétrie
- Partie de la topographie qui étudie l'ensemble des méthodes permettant d'obtenir la représentation plane d'une portion de terrain, sans considération des altitudes.
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