Étude Topographique

Calcul de la Pente entre Deux Points Nivelés

Topographie : Calcul de la Pente entre Deux Points Nivelés

Calcul de la Pente entre Deux Points Nivelés

Contexte : Quantifier le Relief du Terrain

Après avoir déterminé les altitudes de plusieurs points grâce au nivellement, une étape essentielle consiste à calculer la penteRapport entre la différence d'altitude (dénivelée) et la distance horizontale entre deux points. Elle exprime l'inclinaison du terrain. entre ces points. La pente est une information capitale dans de nombreux domaines : en génie civil pour la conception de routes ou de réseaux d'assainissement, en agriculture pour l'irrigation, ou en aménagement du territoire pour l'analyse des risques d'érosion. Elle est généralement exprimée en pourcentage (%) ou en millimètres par mètre (mm/m).

Remarque Pédagogique : Comprendre le calcul de pente permet de transformer des données brutes (altitudes, distances) en une information directement exploitable pour un projet. C'est le lien entre la mesure topographique et la conception technique.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la dénivelée entre deux points à partir de leurs altitudes.
  • Comprendre la relation entre dénivelée, distance horizontale et pente.
  • Calculer une pente et l'exprimer en pourcentage (%).
  • Interpréter le signe d'une pente (montante ou descendante).
  • Appliquer le calcul de pente à un cas concret de projet d'assainissement.

Données de l'étude

Un géomètre a relevé l'altitude de deux regards d'un futur réseau d'assainissement, le point A (amont) et le point B (aval). Il doit vérifier si la pente naturelle du terrain est suffisante pour l'écoulement.

Schéma du Projet
A B Dist. Horiz. (Dh) Dénivelée (ΔH)

Données :

Point Altitude
A (Amont) 215.78 m
B (Aval) 214.34 m
  • Distance horizontale entre A et B : \(D_h = 57.50 \, \text{m}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la dénivelée (\(\Delta H\)) entre le point A et le point B.
  2. Calculer la pente (\(P\)) de la ligne AB en pourcentage.

Correction : Calcul de la Pente entre Deux Points Nivelés

Question 1 : Calcul de la Dénivelée

Principe :
Alt A Alt B ΔH = Alt B - Alt A

La dénivelée entre deux points est la différence verticale entre leurs altitudes. Par convention, on la calcule en soustrayant l'altitude du point de départ de celle du point d'arrivée (\(\text{Alt}_{\text{arrivée}} - \text{Alt}_{\text{départ}}\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le signe de la dénivelée a un sens physique direct. Une dénivelée négative indique que l'on descend du point A vers le point B. Une dénivelée positive indiquerait une montée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H = \text{Alt}_{\text{B}} - \text{Alt}_{\text{A}} \]
Donnée(s) :
  • \(\text{Alt}_{\text{A}} = 215.78 \, \text{m}\)
  • \(\text{Alt}_{\text{B}} = 214.34 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Delta H &= 214.34 - 215.78 \\ &= -1.44 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ordre de la soustraction : Inverser les termes (\(\text{Alt}_{\text{A}} - \text{Alt}_{\text{B}}\)) donnerait la même valeur mais avec le signe opposé. Il est crucial de respecter la convention "arrivée moins départ" pour une interprétation correcte de la pente.

Le saviez-vous ?

La dénivelée est la base de tous les projets d'écoulement par gravité (eau potable, eaux usées, eaux pluviales). Sans une dénivelée négative (une descente), l'eau ne coulerait pas !

FAQ en rapport avec la question :
La distance a-t-elle un impact sur la dénivelée ?

Non, la dénivelée est une différence d'altitude purement verticale. La distance horizontale entre les points n'influence pas la valeur de la dénivelée, mais elle sera essentielle pour le calcul de la pente.

Résultat : La dénivelée de A vers B est de -1.44 m.

Question 2 : Calcul de la Pente en Pourcentage

Principe :
Dh ΔH P(%) = (ΔH / Dh) * 100

La pente est le rapport de la différence de hauteur (dénivelée) sur la distance horizontale. Pour l'exprimer en pourcentage, on multiplie ce rapport par 100.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Une pente de -2.5% signifie que pour chaque 100 mètres parcourus à l'horizontale, on descend de 2.5 mètres verticalement. Le pourcentage est une manière très intuitive de se représenter l'inclinaison du terrain.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P (\%) = \frac{\Delta H}{D_h} \times 100 \]
Donnée(s) :
  • \(\Delta H = -1.44 \, \text{m}\)
  • \(D_h = 57.50 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} P &= \frac{-1.44}{57.50} \times 100 \\ P &\approx -0.02504 \times 100 \\ P &\approx -2.50 \, \% \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités cohérentes : Assurez-vous que la dénivelée et la distance horizontale sont dans la même unité (ici, en mètres) avant de faire la division. Une erreur d'unité est une faute classique.

Le saviez-vous ?

En assainissement, une pente minimale est requise pour assurer un bon écoulement et éviter les dépôts. Pour les eaux usées, une pente de 1% est souvent un minimum, mais 2 à 3% est idéal. La pente de -2.50% est donc excellente pour ce projet !

FAQ en rapport avec la question :
Comment convertir une pente en degrés ?

La pente (en valeur décimale, pas en pourcentage) est la tangente de l'angle d'inclinaison (\(\alpha\)). Pour trouver l'angle en degrés, on utilise la fonction arc tangente : \(\alpha (\text{deg}) = \arctan(\Delta H / D_h) \times (180 / \pi)\). Ici, \(\arctan(-1.44 / 57.50) \approx -1.43^\circ\).

Résultat : La pente entre A et B est d'environ -2.50 %.

Calculateur de Pente Interactif

Modifiez les altitudes des points A et B ainsi que leur distance horizontale pour calculer instantanément la dénivelée et la pente.

Données du Projet
Résultats Calculés
Dénivelée (A vers B)
Pente

Le Saviez-Vous ?

La distance utilisée pour le calcul de pente est la distance horizontale, pas la distance réelle qui suit le terrain. Pour les pentes faibles, la différence est négligeable. Mais pour des pentes très fortes, comme en montagne, la distance réelle peut être significativement plus grande que la distance horizontale.

Foire Aux Questions (FAQ)

Peut-on calculer une pente si on n'a que des lectures sur mire ?

Oui. Si depuis une même station on a une lecture avant \(L_{\text{AV1}}\) sur un point P1 et \(L_{\text{AV2}}\) sur un point P2, la dénivelée entre P1 et P2 est simplement \( \Delta H = L_{\text{AV1}} - L_{\text{AV2}} \). Il suffit ensuite de mesurer la distance horizontale entre P1 et P2 pour calculer la pente.

Qu'est-ce que la pente en "pour mille" (‰) ?

C'est une autre façon d'exprimer la pente, souvent utilisée dans les projets ferroviaires ou routiers. Pour l'obtenir, on multiplie le rapport \((\Delta H / D_h)\) par 1000. Une pente de -2.5% est donc égale à -25 ‰.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un point A est à l'altitude 50.0 m. Un point B est à 48.0 m. La dénivelée de A vers B est :

  • 98.0 m

2. Si la distance horizontale entre ces points A et B est de 100 m, quelle est la pente ?

Glossaire

Pente
Rapport entre la dénivelée (différence d'altitude) et la distance horizontale entre deux points. Elle mesure l'inclinaison du terrain.
Dénivelée (\(\Delta H\))
Différence d'altitude entre deux points. Elle est calculée par \(\text{Alt}_{\text{arrivée}} - \text{Alt}_{\text{départ}}\) et peut être positive (montée) ou négative (descente).
Distance Horizontale (\(D_h\))
Distance entre deux points projetée sur un plan horizontal. C'est la distance "à plat" utilisée pour les calculs de pente.
Pourcentage (%)
Unité de mesure de la pente. Une pente de 1% signifie une dénivelée de 1 mètre pour 100 mètres de distance horizontale.
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