Calcul d’altitude par Nivellement Direct
Contexte : Le Nivellement DirectEnsemble des opérations topographiques permettant de déterminer des altitudes ou des dénivelées avec un haut niveau de précision, à l'aide d'un niveau et d'une mire..
Le nivellement direct est une technique fondamentale en topographie, utilisée pour déterminer avec précision les altitudes de points sur le terrain. C'est une compétence essentielle pour les géomètres, les ingénieurs en génie civil et les architectes, car elle garantit que les projets de construction (routes, bâtiments, canaux) sont réalisés aux bonnes élévations.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers le processus complet de calcul d'un cheminement de nivellement, de la lecture des données brutes sur un carnet de terrain à la vérification finale de la précision des mesures.
Objectifs Pédagogiques
- Maîtriser le calcul de dénivelées et d'altitudes à partir de lectures sur mire.
- Savoir organiser les calculs dans un carnet de nivellement.
- Comprendre et appliquer le principe de la vérification de fermeture d'un cheminement nivelé.
Données de l'étude
Carnet de Terrain (Lectures en mètres)
| Station | Point Visé | Visée Arrière (Varr) | Visée Avant (Vant) |
|---|---|---|---|
| S1 | NGG-37 | 1,845 | |
| P1 | 0,912 | ||
| S2 | P1 | 2,651 | |
| NGG-37 | 3,583 |
Schéma du Cheminement de Nivellement
| Nom du Paramètre | Description ou Formule | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude de départ | Altitude du repère NGG-37 | 42,175 | m |
| Tolérance réglementaire | \(T = k \cdot \sqrt{L_{\text{km}}}\) avec \(k=20 \text{ mm}\) | Pour L = 0,2 km | mm |
Questions à traiter
- Calculer l'altitude du point de changement P1.
- Calculer l'altitude de retour du repère NGG-37.
- Calculer la fermeture, la comparer à la tolérance et conclure.
Les bases sur le Nivellement Direct
Le nivellement direct par cheminement est la méthode la plus précise pour déterminer la différence d'altitude (dénivelée) entre deux points. Elle repose sur des visées horizontales effectuées avec un niveau.
1. Principe du calcul d'altitude
L'altitude d'un point B se déduit de celle d'un point A par la formule :
\[ \text{Altitude(B)} = \text{Altitude(A)} + V_{\text{arr}}(\text{A}) - V_{\text{av}}(\text{B}) \]
Où \(V_{\text{arr}}(\text{A})\) est la lecture sur la mire posée en A (visée arrière) et \(V_{\text{av}}(\text{B})\) est la lecture sur la mire en B (visée avant).
2. Fermeture du cheminement
Pour vérifier la qualité des mesures, on effectue un cheminement fermé (aller-retour). La dénivelée totale devrait être nulle. La différence observée est l'erreur de fermeture :
\[ f = \sum V_{\text{arr}} - \sum V_{\text{av}} \]
Cette fermeture doit être inférieure à une tolérance réglementaire pour que le nivellement soit accepté.
Correction : Calcul d’altitude par Nivellement Direct
Question 1 : Calculer l'altitude du point de changement P1.
Principe
Pour trouver l'altitude d'un point inconnu (P1), on "transporte" l'altitude d'un point connu (NGG-37). Depuis la première station (S1), on détermine l'altitude du plan de visée horizontal de l'instrument en s'appuyant sur le NGG-37. Ensuite, depuis ce même plan de visée, on déduit l'altitude de P1.
Mini-Cours
Le concept clé est l'Altitude du Plan de Visée (APV). C'est une altitude de référence temporaire, celle de l'axe optique horizontal du niveau. Une fois l'APV déterminée pour une station donnée (\(\text{APV} = \text{Altitude}_{\text{connue}} + V_{\text{arr}}\)), elle reste constante tant que l'instrument n'est pas déplacé. On peut alors viser n'importe quel point et trouver son altitude par : \(\text{Altitude}_{\text{point}} = \text{APV} - V_{\text{av}}\).
Remarque Pédagogique
La clé du succès en nivellement est l'organisation. Considérez toujours le calcul en deux étapes simples : 1. Je vise un point connu pour savoir "à quelle hauteur est mon niveau" (calcul de l'APV). 2. Depuis cette hauteur, je vise mon point inconnu pour savoir "à quelle hauteur est le sol" (calcul de l'altitude).
Normes
Bien que cet exercice n'impose pas une norme spécifique, les opérations de nivellement sont régies en France par les recommandations de l'Ordre des Géomètres-Experts et les fascicules du CEREMA, qui définissent les classes de précision et les tolérances associées.
Formule(s)
Altitude du plan de visée (APV)
Altitude du point inconnu
Hypothèses
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :
- La ligne de visée de l'instrument est parfaitement horizontale.
- La mire est tenue parfaitement verticale sur les points visés.
- L'instrument est stable et n'a pas bougé entre la visée arrière et la visée avant.
Donnée(s)
On extrait les lectures de la station S1 du carnet de terrain.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude de NGG-37 | \(\text{Alt}(\text{NGG-37})\) | 42,175 | m |
| Visée Arrière sur NGG-37 | \(V_{\text{arr}}(\text{NGG-37})\) | 1,845 | m |
| Visée Avant sur P1 | \(V_{\text{av}}(\text{P1})\) | 0,912 | m |
Astuces
Un contrôle rapide : si la visée avant est plus petite que la visée arrière (\(0,912 < 1,845\)), cela signifie que le terrain monte entre le premier point et le second. Le résultat de l'altitude de P1 doit donc être supérieur à celui de NGG-37.
Schéma (Avant les calculs)
Visées depuis la Station S1
Calcul(s)
Calcul de l'altitude du plan de visée depuis S1
Calcul de l'altitude de P1
Schéma (Après les calculs)
Profil en long avec altitude calculée pour P1
Réflexions
L'altitude de P1 est de 43,108 m, ce qui est bien supérieur à 42,175 m. Cela confirme notre "astuce" : le terrain est monté de \(1,845 \text{ m} - 0,912 \text{ m} = 0,933 \text{ m}\) entre NGG-37 et P1. On peut vérifier : \(42,175 \text{ m} + 0,933 \text{ m} = 43,108 \text{ m}\).
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'inverser l'addition et la soustraction. Rappelez-vous : on ajoute toujours la visée arrière (on monte vers le niveau) et on soustrait toujours la visée avant (on descend vers le point suivant).
Points à retenir
Pour calculer une altitude, je pars d'une altitude connue, j'ajoute ma lecture sur ce point connu (\(V_{\text{arr}}\)), puis je soustrais ma lecture sur le point inconnu (\(V_{\text{av}}\)). C'est le principe de base de tout le nivellement direct.
Le saviez-vous ?
Les premières versions de niveaux optiques, appelés "niveaux à lunette", ont été développées dès le 17e siècle. Cependant, c'est l'ingénieur français Paul-Adrien Bourdaloue au 19e siècle qui a systématisé et perfectionné la méthode du nivellement direct pour cartographier le tracé du canal de Suez.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la lecture arrière (\(V_{\text{arr}}\)) sur NGG-37 avait été de 2,015 m, quelle aurait été l'altitude de P1 (avec la même \(V_{\text{av}}\)) ?
Question 2 : Calculer l'altitude de retour du repère NGG-37.
Principe
En utilisant l'altitude de P1 que nous venons de calculer comme nouveau point de référence, nous répétons exactement la même opération que pour la question 1, mais depuis la station S2. L'objectif est de "revenir" à notre point de départ pour vérifier la cohérence de nos mesures.
Mini-Cours
Cette étape illustre le concept de "cheminement". En topographie, on progresse de point en point en transportant une coordonnée (ici, l'altitude). Le point P1, dont l'altitude était inconnue, devient une référence connue pour l'étape suivante. C'est un maillon essentiel de la chaîne de mesure qui assure la liaison entre les stations.
Remarque Pédagogique
Le point de changement P1 est crucial. Assurez-vous qu'il soit stable et bien identifié (un clou, un piquet, une marque). Si le support de la mire bouge entre la visée avant depuis S1 et la visée arrière depuis S2, tout le reste du calcul sera faux !
Normes
Les normes de précision exigent que les "portées" (distances entre le niveau et la mire) des visées arrière et avant soient approximativement égales pour chaque station. Cela permet d'annuler certaines erreurs instrumentales, notamment l'erreur de collimation.
Formule(s)
Altitude du plan de visée (APV)
Altitude du point de retour
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1. On y ajoute l'hypothèse que l'altitude de P1 (43,108 m) est correcte pour la suite du calcul.
Donnée(s)
On utilise l'altitude de P1 calculée et les lectures de la station S2.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude de P1 | \(\text{Alt}(\text{P1})\) | 43,108 | m |
| Visée Arrière sur P1 | \(V_{\text{arr}}(\text{P1})\) | 2,651 | m |
| Visée Avant sur NGG-37 | \(V_{\text{av}}(\text{NGG-37})\) | 3,583 | m |
Astuces
Ici, la visée avant (3,583) est plus grande que la visée arrière (2,651). Le terrain descend donc entre P1 et NGG-37. L'altitude de retour de NGG-37 doit être inférieure à celle de P1.
Schéma (Avant les calculs)
Visées depuis la Station S2
Calcul(s)
Calcul de l'altitude du plan de visée depuis S2
Calcul de l'altitude de retour de NGG-37
Schéma (Après les calculs)
Profil en long du cheminement retour
Réflexions
On observe une légère différence entre l'altitude de départ (42,175 m) et l'altitude de retour calculée (42,176 m). Cette différence est l'erreur de fermeture, que nous allons analyser dans la question suivante. Elle est très faible, ce qui est un bon signe.
Points de vigilance
Une erreur fréquente est de faire une faute de frappe en recopiant l'altitude du point de changement P1. Une seule erreur se propage sur tout le reste du cheminement. La double-vérification est essentielle.
Points à retenir
Chaque stationnement est indépendant, mais ils sont reliés par les points de changement. La rigueur appliquée à chaque étape garantit la qualité du résultat final.
Le saviez-vous ?
Sur de longues distances, les topographes doivent tenir compte de la courbure de la Terre et de la réfraction atmosphérique. Pour une visée de 300 mètres, l'erreur combinée est d'environ 6 mm. Les formules de nivellement de précision incluent des termes correctifs pour ces phénomènes.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En partant de \(\text{Alt}(\text{P1}) = 43,108 \text{ m}\), si la \(V_{\text{av}}\) sur NGG-37 avait été de 3,590 m, quelle aurait été l'altitude de retour ?
Question 3 : Calculer la fermeture, la comparer à la tolérance et conclure.
Principe
La fermeture est l'écart entre le point de départ théorique et le point d'arrivée pratique. C'est la signature de la précision de notre travail. On compare cet écart à une marge d'erreur acceptable (la tolérance) pour décider si les mesures sont fiables ou si elles doivent être refaites.
Mini-Cours
La tolérance n'est pas choisie au hasard. Elle dépend de la précision de l'instrument, des conditions opératoires et de l'usage final des données. La formule en \(\sqrt{L}\) (racine de la longueur) vient de la théorie des erreurs : les erreurs aléatoires s'accumulent de manière quadratique, et non linéaire. Doubler la distance ne double pas l'erreur, mais la multiplie par \(\sqrt{2}\).
Remarque Pédagogique
Ne soyez jamais déçu par une fermeture non nulle. Une fermeture parfaitement nulle est statistiquement improbable et souvent suspecte ! Une petite fermeture, bien en deçà de la tolérance, est la marque d'un travail soigné et réaliste.
Normes
La formule \(T = 20 \text{ mm} \sqrt{L_{\text{km}}}\) est typique d'un "nivellement ordinaire" ou de "nivellement de chantier". Pour des travaux de plus haute précision (nivellement de précision), le coefficient \(k\) serait beaucoup plus faible (par exemple, 3 à 5 mm).
Formule(s)
Fermeture arithmétique
Fermeture altimétrique
Tolérance
Hypothèses
Nous supposons que la longueur du cheminement (200 m) est une estimation raisonnable pour le calcul de la tolérance. Une mesure plus précise de la distance n'est généralement pas nécessaire pour cette vérification.
Donnée(s)
On rassemble toutes les lectures et les altitudes de départ/retour.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Somme Varr | \(\sum V_{\text{arr}}\) | 4,496 | m |
| Somme Vant | \(\sum V_{\text{av}}\) | 4,495 | m |
| Altitude départ | \(\text{Alt}_{\text{départ}}\) | 42,175 | m |
| Altitude retour | \(\text{Alt}_{\text{retour}}\) | 42,176 | m |
| Longueur (L) | L | 0,2 | km |
Astuces
Calculez toujours la fermeture des deux manières (arithmétique et altimétrique). Si les deux résultats ne sont pas identiques, cela signifie que vous avez fait une erreur de calcul dans les altitudes intermédiaires. C'est un excellent moyen de s'auto-corriger avant de conclure.
Schéma (Avant les calculs)
Concept de Fermeture d'un Cheminement
Calcul(s)
Calcul de la fermeture arithmétique
Calcul de la fermeture altimétrique
Calcul de la tolérance
Comparaison
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Fermeture et Tolérance
Réflexions
Une fermeture de +1 mm pour un cheminement de 200 m est un excellent résultat pour du nivellement de chantier. Cela indique que les lectures ont été faites avec soin, que l'instrument était bien réglé et que les points de changement étaient stables. On peut avoir une grande confiance dans l'altitude calculée pour le point P1.
Points de vigilance
Attention aux unités ! La fermeture se calcule en mètres, mais la tolérance est souvent donnée avec un coefficient en millimètres. N'oubliez pas de tout convertir dans la même unité (généralement le mm) avant de comparer \(|f|\) et \(T\).
Points à retenir
La séquence finale est toujours : 1. Calculer la fermeture. 2. Calculer la tolérance. 3. Comparer \(|f| \le T\). Si cette condition est respectée, le travail est validé. Sinon, il doit être refait.
Le saviez-vous ?
Le point de référence de toutes les altitudes en France métropolitaine, le "zéro normal", est matérialisé par un marégraphe situé à Marseille. Son altitude a été fixée par une observation du niveau moyen de la mer Méditerranée entre 1885 et 1897. C'est à partir de ce point que tout le réseau de Nivellement Général de la France (NGF) a été calculé.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le cheminement avait eu une longueur de 1,5 km, quelle aurait été la tolérance ?
Outil Interactif : Simulateur de Dénivelée
Utilisez les curseurs pour modifier l'altitude de départ et les lectures sur mire, et observez en temps réel l'impact sur l'altitude du point d'arrivée et sur la dénivelée.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. En nivellement direct, qu'appelle-t-on la "visée arrière" ?
2. L'altitude d'un point A est de 112,45 m. Depuis une station de niveau, la lecture arrière sur A est de 2,15 m et la lecture avant sur B est de 1,30 m. Quelle est l'altitude de B ?
3. A quoi sert un "point de changement" (ou point de report) ?
4. La somme des visées arrière d'un cheminement est 12,456 m et la somme des visées avant est 11,987 m. Si l'altitude de départ est 50,000 m, quelle est l'altitude d'arrivée ?
5. Une erreur de fermeture est jugée acceptable si...
- Nivellement Direct
- Opération de géométrie qui consiste à déterminer la différence d'altitude (dénivelée) entre des points par des visées horizontales.
- Mire (ou Stadia)
- Règle graduée, tenue verticalement sur les points à mesurer, sur laquelle on effectue les lectures à l'aide du niveau.
- Visée Arrière (Varr)
- Lecture sur une mire placée sur un point de référence dont l'altitude est connue (ou a été calculée précédemment).
- Visée Avant (Vant)
- Lecture sur une mire placée sur un point dont on cherche à déterminer l'altitude.
- Point de Changement
- Point intermédiaire stable où l'on effectue successivement une visée avant puis une visée arrière pour pouvoir déplacer l'instrument.
D’autres exercices d’instruments topographique:
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