Étude Topographique

Calcul des Coordonnées Polaires (Distance, Azimut)

Exercice : Calcul de Coordonnées Polaires

Calcul de Coordonnées Polaires (Distance et Azimut)

Contexte : Les fondamentaux de la topographie.

En topographie, l'une des tâches les plus fondamentales est de déterminer la position d'un point inconnu à partir d'un point de référence connu. La méthode la plus courante est le levé par rayonnement, qui utilise des coordonnées polaires : une distance et un angle. Cet angle, mesuré depuis la direction du Nord, est appelé le GisementAngle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de la direction du Nord. En France, il est généralement exprimé en grades (ou gons).. Cet exercice vous guidera à travers le calcul pour convertir ces mesures de terrain en coordonnées rectangulaires (X, Y).

Remarque Pédagogique : Ce calcul est au cœur du métier de géomètre-topographe. Le maîtriser est essentiel pour réaliser des plans, implanter des ouvrages ou effectuer des levers topographiques précis.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le principe du calcul de coordonnées par rayonnement.
  • Maîtriser les formules trigonométriques pour calculer les composantes ΔX et ΔY.
  • Appliquer la méthode à un cas pratique pour déterminer les coordonnées d'un nouveau point.
  • Savoir calculer un gisement inverse.
  • Être capable de vérifier un calcul par la distance.

Données de l'étude

Un géomètre se trouve sur une station 'A' dont les coordonnées sont connues. Il vise un point 'B' (par exemple, le coin d'un futur bâtiment) avec son tachéomètre et mesure la distance horizontale et le gisement.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Système de coordonnées RGF93 - CC45
Unité angulaire Grade (gon)
Instrument de mesure Station Totale Leica TS16
Schéma de la situation
A (Xₐ, Yₐ) B (Xₑ, Yₑ) Dₐₑ N Gₐₑ
Nom du Paramètre Symbole Valeur Unité
Coordonnée X de la station A \(X_A\) 850 450.25 m
Coordonnée Y de la station A \(Y_A\) 6 870 120.50 m
Distance horizontale A vers B \(D_{AB}\) 55.42 m
Gisement A vers B \(G_{AB}\) 125.50 gon

Questions à traiter

  1. Calculer la variation des coordonnées en X (\(\Delta X\)) entre A et B.
  2. Calculer la variation des coordonnées en Y (\(\Delta Y\)) entre A et B.
  3. En déduire les coordonnées finales du point B (\(X_B, Y_B\)).
  4. Calculer le gisement inverse pour retourner du point B vers le point A (\(G_{BA}\)).
  5. En utilisant les coordonnées calculées de A et B, recalculez la distance entre les deux points pour vérifier votre travail.

Les bases du calcul de coordonnées

Le calcul de coordonnées par rayonnement repose sur la transformation de coordonnées polaires (un point de départ, un angle, une distance) en coordonnées rectangulaires (X, Y). Pour cela, on utilise les principes de la trigonométrie dans un triangle rectangle imaginaire formé par le point de départ, le point d'arrivée et les projections sur les axes X (Est) et Y (Nord).

1. Calcul des déplacements (\(\Delta X, \Delta Y\))
Le déplacement sur l'axe des X (\(\Delta X\)) est calculé avec la fonction sinus du gisement, tandis que le déplacement sur l'axe des Y (\(\Delta Y\)) est calculé avec la fonction cosinus. \[ \Delta X = D \times \sin(G) \] \[ \Delta Y = D \times \cos(G) \]

2. Calcul des coordonnées finales
Les coordonnées du point final sont obtenues en ajoutant les déplacements calculés aux coordonnées du point de départ. \[ X_{\text{final}} = X_{\text{départ}} + \Delta X \] \[ Y_{\text{final}} = Y_{\text{départ}} + \Delta Y \]

Correction : Calcul de Coordonnées Polaires (Distance et Azimut)

Question 1 : Calculer la variation des coordonnées en X (\(\Delta X\))

Principe

On cherche à déterminer le déplacement Est-Ouest (projection sur l'axe des X) pour aller du point A au point B. Ce déplacement est l'un des côtés du triangle rectangle formé par la distance \(D_{AB}\) (l'hypoténuse) et la direction du Nord.

Mini-Cours

Dans le cercle trigonométrique topographique (orienté dans le sens horaire depuis le Nord), la projection d'un vecteur sur l'axe des abscisses (Est) est donnée par le produit de la longueur du vecteur (la distance) et du sinus de l'angle (le gisement).

Remarque Pédagogique

Avant tout calcul, visualisez le gisement. 125.50 gon se situe dans le quadrant Sud-Est. Le déplacement en X (vers l'Est) doit donc être positif.

Normes

Ce calcul fondamental ne fait pas appel à une norme de construction spécifique (type Eurocode), mais il respecte les conventions universelles de la géodésie et de la topographie pour la transformation de coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes.

Formule(s)
\[ \Delta X = D_{\text{AB}} \times \sin(G_{\text{AB}}) \]
Hypothèses
  • Le système de coordonnées est un plan euclidien local (la courbure de la Terre est négligée).
  • L'instrument de mesure est parfaitement calibré et mis en station.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Distance horizontale A vers B\(D_{\text{AB}}\)55.42m
Gisement A vers B\(G_{\text{AB}}\)125.50gon
Astuces

Vérifiez toujours que votre calculatrice est en mode "Grades" (GRAD ou GON) et non en Degrés (DEG) ou Radians (RAD). C'est la source d'erreur la plus fréquente.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle rectangle pour le calcul de ΔX
ABDΔX|ΔY|G'

Visualisation de ΔX comme le côté opposé à l'angle de référence.

Calcul(s)
\[ \begin{aligned} \Delta X &= 55.42 \, \text{m} \times \sin(125.50 \, \text{gon}) \\ &= 55.42 \times 0.9548... \\ &= 52.918... \, \text{m} \\ &\Rightarrow \Delta X \approx 52.92 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Composantes du déplacement
+52.92 m-16.47 mAB55.42 m
Réflexions

Le résultat de +52.92 m est positif, ce qui confirme un déplacement vers l'Est, conformément à notre analyse initiale du gisement.

Points de vigilance

Ne jamais oublier l'unité de l'angle. Une erreur de mode sur la calculatrice donnerait un résultat complètement différent et erroné.

Points à retenir

ΔX = Distance × sin(Gisement). Cette formule est fondamentale pour la projection sur l'axe Est-Ouest.

Le saviez-vous ?

Le grade (ou gon) a été introduit en France après la Révolution française dans le cadre du système métrique, avec l'idée de décimaliser toutes les unités, y compris les angles. Un angle droit mesure 100 gon, ce qui simplifie certains calculs mentaux.

FAQ
Pourquoi utilise-t-on le sinus pour X et non le cosinus ?

En mathématiques classiques, l'angle est mesuré depuis l'axe des X (Est) dans le sens anti-horaire. En topographie, l'angle (gisement) est mesuré depuis l'axe des Y (Nord) dans le sens horaire. Ce changement de convention inverse l'utilisation des fonctions sinus et cosinus pour les projections.

Résultat Final
La variation des coordonnées en X est de +52.92 m.
A vous de jouer

Si la distance était de 100.00 m et le gisement de 50 gon, quel serait le \(\Delta X\) ?

Question 2 : Calculer la variation des coordonnées en Y (\(\Delta Y\))

Principe

On cherche maintenant à déterminer le déplacement Nord-Sud (projection sur l'axe des Y) pour aller du point A au point B.

Mini-Cours

Dans le cercle trigonométrique topographique, la projection d'un vecteur sur l'axe des ordonnées (Nord) est donnée par le produit de la longueur du vecteur (la distance) et du cosinus de l'angle (le gisement).

Remarque Pédagogique

Un gisement de 125.50 gon se situe dans le quadrant Sud-Est. Le déplacement en Y (vers le Sud) doit donc être négatif.

Normes

Les mêmes conventions géodésiques que pour le calcul de ΔX s'appliquent ici.

Formule(s)
\[ \Delta Y = D_{\text{AB}} \times \cos(G_{\text{AB}}) \]
Hypothèses

Les hypothèses restent identiques à celles de la question 1.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Distance horizontale A vers B\(D_{\text{AB}}\)55.42m
Gisement A vers B\(G_{\text{AB}}\)125.50gon
Astuces

Aucune astuce supplémentaire, la vigilance sur le mode de la calculatrice reste primordiale.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle rectangle pour le calcul de ΔY
ABD|ΔX|ΔYG'

Visualisation de ΔY comme le côté adjacent à l'angle de référence.

Calcul(s)
\[ \begin{aligned} \Delta Y &= 55.42 \, \text{m} \times \cos(125.50 \, \text{gon}) \\ &= 55.42 \times (-0.2971...) \\ &= -16.465... \, \text{m} \\ &\Rightarrow \Delta Y \approx -16.47 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Composantes du déplacement
+52.92 m-16.47 mAB55.42 m
Réflexions

Le résultat négatif (-16.47 m) confirme un déplacement vers le Sud, ce qui est cohérent avec un gisement situé dans le deuxième quadrant (100-200 gon).

Points de vigilance

Attention au signe du résultat. Un cosinus peut être négatif, ce qui a une signification physique directe (déplacement vers le Sud).

Points à retenir

ΔY = Distance × cos(Gisement). C'est la formule clé pour la projection sur l'axe Nord-Sud.

Le saviez-vous ?

Les coordonnées Y en France (projection Lambert) sont toujours de très grands nombres (plusieurs millions) pour éviter les valeurs négatives sur l'ensemble du territoire métropolitain.

FAQ
Est-ce que ΔY peut être plus grand que la distance ?

Non, c'est impossible. ΔX et ΔY sont les côtés d'un triangle rectangle dont la distance est l'hypoténuse. Un côté de l'angle droit est toujours plus court que l'hypoténuse.

Résultat Final
La variation des coordonnées en Y est de -16.47 m.
A vous de jouer

Si la distance était de 100.00 m et le gisement de 50 gon, quel serait le \(\Delta Y\) ?

Question 3 : En déduire les coordonnées finales du point B (\(X_B, Y_B\))

Principe

Pour trouver les coordonnées du point B, il suffit d'ajouter les variations \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) que nous venons de calculer aux coordonnées de départ du point A.

Mini-Cours

Ce calcul est une translation de vecteur. Le point A est translaté selon le vecteur de composantes (\(\Delta X, \Delta Y\)) pour arriver au point B. C'est le principe de base de la progression en coordonnées en topographie.

Remarque Pédagogique

Soyez méthodique. Calculez d'abord X, puis Y. Ne mélangez pas les valeurs et faites attention aux signes lors de l'addition.

Normes

Pas de norme spécifique, il s'agit d'une application de l'arithmétique de base.

Formule(s)
\[ X_B = X_A + \Delta X \]
\[ Y_B = Y_A + \Delta Y \]
Hypothèses

Aucune hypothèse supplémentaire n'est nécessaire.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Coordonnée X de A\(X_A\)850 450.25m
Coordonnée Y de A\(Y_A\)6 870 120.50m
Variation en X\(\Delta X\)+52.92m
Variation en Y\(\Delta Y\)-16.47m
Astuces

Aucune astuce particulière.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma de la situation
A (Xₐ, Yₐ)B (Xₑ, Yₑ)DₐₑNGₐₑ
Calcul(s)
\[ \begin{aligned} X_B &= X_A + \Delta X \\ &= 850\,450.25 \, \text{m} + 52.92 \, \text{m} \\ &= 850\,503.17 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_B &= Y_A + \Delta Y \\ &= 6\,870\,120.50 \, \text{m} + (-16.47 \, \text{m}) \\ &= 6\,870\,104.03 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position des points A et B
A (850450.25, 6870120.50)B (850503.17, 6870104.03)ΔX = +52.92ΔY = -16.47
Réflexions

Les coordonnées de B sont cohérentes avec les déplacements calculés : X a augmenté (déplacement Est) et Y a diminué (déplacement Sud).

Points de vigilance

Faites attention à ne pas inverser \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) lors de l'addition aux coordonnées de départ.

Points à retenir

Coordonnée d'arrivée = Coordonnée de départ + Déplacement. C'est la règle d'or du calcul topographique.

Le saviez-vous ?

Les coordonnées topographiques sont souvent exprimées avec deux décimales (précision centimétrique), ce qui est généralement suffisant pour les travaux de construction courants.

FAQ
Que faire si on a plusieurs points à calculer depuis la même station ?

On répète simplement ce processus pour chaque point. C'est ce qu'on appelle un "rayonnement". Les coordonnées de la station A restent la base de calcul pour tous les points visés depuis celle-ci.

Résultat Final
Les coordonnées du point B sont : X_B = 850 503.17 m et Y_B = 6 870 104.03 m.
A vous de jouer

Si \(\Delta X\) = +25.00 m et \(\Delta Y\) = +80.00 m, quelles seraient les coordonnées de B ?

Question 4 : Calculer le gisement inverse (\(G_{BA}\))

Principe

Le gisement inverse (\(G_{BA}\)) est l'angle qu'il faut suivre pour aller du point B au point A. Il est directement lié au gisement aller (\(G_{AB}\)) par une différence de 200 grades (un demi-cercle).

Mini-Cours

La relation entre un gisement aller et un gisement retour est une propriété fondamentale de la géométrie plane. La direction de B vers A est exactement à l'opposé de la direction de A vers B. Cette opposition se traduit par une addition ou une soustraction de 200 gon, ce qui correspond à un angle plat de 180°.

Remarque Pédagogique

C'est un calcul simple mais essentiel, notamment pour fermer un cheminement polygonal ou pour orienter une nouvelle station sur un point connu.

Normes

Cette règle de calcul est une convention de base en topographie, indépendante des normes de tolérance.

Formule(s)
\[ \text{Si } G_{\text{AB}} < 200 \, \text{gon} \Rightarrow G_{\text{BA}} = G_{\text{AB}} + 200 \, \text{gon} \]
\[ \text{Si } G_{\text{AB}} > 200 \, \text{gon} \Rightarrow G_{\text{BA}} = G_{\text{AB}} - 200 \, \text{gon} \]
Hypothèses

Aucune hypothèse particulière n'est requise.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Gisement A vers B\(G_{\text{AB}}\)125.50gon
Astuces

Le résultat doit toujours être compris entre 0 et 400 gon. Si vous obtenez une valeur négative ou supérieure à 400, c'est que vous vous êtes trompé d'opération (+ ou -).

Schéma (Avant les calculs)
Gisement Aller et Retour
ABNGₐₑN'Gₑₐ
Calcul(s)

Notre gisement \(G_{\text{AB}}\) est de 125.50 gon, ce qui est inférieur à 200 gon. On ajoute donc 200 gon.

\[ \begin{aligned} G_{\text{BA}} &= 125.50 \, \text{gon} + 200 \, \text{gon} \\ &= 325.50 \, \text{gon} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Gisement Aller et Retour
ABN125.50 gonN'325.50 gon
Réflexions

Un gisement de 325.50 gon se situe dans le quadrant Nord-Ouest, ce qui est parfaitement logique pour revenir d'un point Sud-Est vers le point d'origine.

Points de vigilance

Ne jamais additionner ou soustraire 180 si vos angles sont en grades. L'équivalent de 180° est 200 gon.

Points à retenir

Pour passer du gisement aller au gisement retour, on ajoute ou on soustrait 200 gon.

Le saviez-vous ?

En navigation maritime ou aérienne, on utilise un concept similaire appelé "relèvement inverse" ou "route inverse", mais les angles sont en degrés.

FAQ
Cette règle est-elle toujours valable ?

Oui, dans un système de projection plan comme le Lambert 93, cette règle est toujours exacte. Les choses se compliquent légèrement en géodésie sur de très longues distances où la courbure de la Terre n'est plus négligeable.

Résultat Final
Le gisement inverse de B vers A est de 325.50 gon.
A vous de jouer

Non applicable pour cette question.

Question 5 : Vérification par la distance

Principe

C'est une étape de contrôle cruciale. En utilisant les composantes \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) calculées, on peut retrouver la distance horizontale grâce au théorème de Pythagore. Le résultat doit être identique (aux arrondis près) à la distance mesurée sur le terrain.

Mini-Cours

Le calcul de la distance entre deux points dont on connaît les coordonnées est une application directe du théorème de Pythagore. La distance est l'hypoténuse du triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont les différences de coordonnées \(\Delta X = X_B - X_A\) et \(\Delta Y = Y_B - Y_A\).

Remarque Pédagogique

Cette vérification est un réflexe à acquérir. Elle permet de détecter rapidement une erreur de saisie ou de calcul dans les étapes précédentes avant de poursuivre le travail.

Normes

Pas de norme spécifique, il s'agit d'une application du théorème de Pythagore.

Formule(s)
\[ D = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \]
Hypothèses

Aucune hypothèse supplémentaire n'est nécessaire.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Variation en X\(\Delta X\)52.92m
Variation en Y\(\Delta Y\)-16.47m
Astuces

Le carré d'un nombre négatif étant positif, le signe de \(\Delta Y\) n'a pas d'impact sur le résultat final. \((-16.47)^2 = (16.47)^2\).

Schéma (Avant les calculs)
Vérification par le théorème de Pythagore
ABD = ?52.9216.47
Calcul(s)
\[ \begin{aligned} D_{\text{AB}} &= \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \\ &= \sqrt{(52.92 \, \text{m})^2 + (-16.47 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{2800.5264 \, \text{m}^2 + 271.2609 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{3071.7873 \, \text{m}^2} \\ &\approx 55.42 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification par le théorème de Pythagore
AB55.42 m52.92 m16.47 m
Réflexions

Le résultat du calcul (55.42 m) correspond exactement à la distance mesurée initialement. Cette vérification confirme que nos calculs de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) sont corrects. C'est une excellente habitude à prendre pour éviter les erreurs.

Points de vigilance

Attention à bien prendre la racine carrée à la fin du calcul. Une erreur fréquente est de s'arrêter à la somme des carrés.

Points à retenir

La distance entre deux points est la racine carrée de la somme des carrés des différences de coordonnées. C'est le théorème de Pythagore appliqué à la topographie.

Le saviez-vous ?

Cette même formule est utilisée des milliards de fois par jour par les systèmes GPS pour calculer la distance entre votre position et votre destination, bien que dans un système de coordonnées géographiques plus complexe (WGS84).

FAQ

Aucune FAQ spécifique pour cette question.

Résultat Final
La distance recalculée est de 55.42 m, ce qui valide les calculs précédents.
A vous de jouer

Non applicable pour cette question.

Outil Interactif : Simulateur de Rayonnement

Utilisez les curseurs pour faire varier la distance et le gisement mesurés depuis le point A et observez en temps réel l'impact sur les coordonnées du point B et sa position sur le graphique.

Paramètres d'Entrée
55.42 m
125.5 gon
Résultats Clés
Coordonnée X_B (m) -
Coordonnée Y_B (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle fonction trigonométrique est utilisée pour calculer le déplacement sur l'axe des X (\(\Delta X\)) ?

2. Un gisement de 250 gon correspond à une direction...

3. Si \(\Delta X\) est négatif et \(\Delta Y\) est positif, dans quel quadrant se situe le point visé par rapport à la station ?

4. Si le gisement de A vers B est de 50 gon, quel est le gisement de B vers A ?

Glossaire

Gisement
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction de référence Nord. En France, l'unité légale est le grade (gon), où un cercle complet mesure 400 gon.
Coordonnées Polaires
Système de coordonnées à deux dimensions dans lequel chaque point du plan est déterminé par un angle et une distance par rapport à un point de référence.
Station (Topographie)
Point de coordonnées connues sur lequel le topographe installe son instrument de mesure (le tachéomètre) pour effectuer des levers.
Exercice de Topographie - Calcul de Coordonnées

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