Calcul des Coordonnées Cartésiennes à partir de Coordonnées Polaires
Contexte : Le Levé Topographique
En topographie, le travail de terrain consiste souvent à effectuer un "levé". Un topographe installe son appareil (un tachéomètre) sur un point de coordonnées connues. Il vise ensuite une série de points d'intérêt (angles de bâtiment, arbres, bornes...) en mesurant pour chacun un angle horizontal (l'azimutAngle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir d'une direction de référence, généralement le Nord.) et une distance. Ces deux valeurs constituent les coordonnées polairesSystème de coordonnées pour définir un point par un angle et une distance par rapport à un point d'origine. du point visé par rapport à la station. Le calcul qui suit permet de transformer ces mesures de terrain en coordonnées cartésiennesSystème de coordonnées pour définir un point par sa position sur deux ou trois axes perpendiculaires (X, Y, Z). (X, Y), qui peuvent ensuite être utilisées pour créer un plan.
Remarque Pédagogique : Ce calcul est au cœur du métier de géomètre-topographe. C'est le pont mathématique qui relie les mesures angulaires et les distances prises sur le terrain au monde orthogonal des plans et des cartes (axes X et Y).
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la relation entre les coordonnées polaires (azimut, distance) et cartésiennes (X, Y).
- Appliquer les formules de trigonométrie pour calculer les variations en X (ΔX) et Y (ΔY).
- Calculer les coordonnées finales d'un point à partir d'un point de départ connu et des variations calculées.
- Se sensibiliser à l'importance de la configuration de sa calculatrice (degrés/grades).
Données de l'étude
- Coordonnées du point de station A :
- \(X_A = 500.00 \, \text{m}\)
- \(Y_A = 1000.00 \, \text{m}\)
- Mesure polaire du point B depuis A :
- AzimutAngle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir d'une direction de référence, généralement le Nord. (Az) : \(50.00 \, \text{grades}\)
- Distance horizontale (D) : \(125.50 \, \text{m}\)
Schéma du Levé Polaire
Questions à traiter
- Rappeler les formules trigonométriques pour calculer les variations de coordonnées (\(\Delta X\) et \(\Delta Y\)).
- Calculer numériquement \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).
- Calculer les coordonnées cartésiennes finales du point B (\(X_B, Y_B\)).
Correction : Calcul des coordonnées cartésiennes à partir de coordonnées polaires
Question 1 : Formules Trigonométriques
Principe :
La conversion des coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes repose sur la décomposition du vecteur (défini par la distance D et l'azimut Az) en ses composantes sur l'axe des X et l'axe des Y. On utilise les fonctions sinus et cosinus dans le triangle rectangle formé par les variations \(\Delta X\), \(\Delta Y\) et la distance D.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : En topographie, l'axe des Y correspond au Nord et l'axe des X à l'Est. L'azimut étant compté depuis le Nord (Y), la projection sur l'axe Est (X) utilise la fonction **sinus**, et la projection sur l'axe Nord (Y) utilise la fonction **cosinus**. C'est l'inverse de ce qu'on apprend souvent en mathématiques pures où les angles sont comptés depuis l'axe X.
Formule(s) utilisée(s) :
Question 2 : Calcul de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\)
Principe :
On applique numériquement les formules précédentes. Il est absolument crucial de s'assurer que sa calculatrice est réglée dans la bonne unité d'angle (ici, les **grades**).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Une erreur de configuration de la calculatrice (mode Degrés au lieu de Grades) est la cause d'échec la plus fréquente dans cet exercice. Vérifiez toujours le mode de votre calculatrice avant de commencer !
Calcul(s) :
Question 3 : Calcul des Coordonnées Finales
Principe :
Les variations \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) représentent le déplacement depuis le point A pour atteindre le point B. Pour trouver les coordonnées de B, il suffit d'additionner ces variations aux coordonnées de départ de A.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Faites bien attention aux signes ! Si l'azimut avait été dans un autre quadrant (par exemple 250 gr), le sinus et/ou le cosinus auraient été négatifs, et il aurait fallu soustraire la variation au lieu de l'additionner. C'est le calcul trigonométrique qui gère automatiquement les signes.
Formule(s) utilisée(s) :
Calcul(s) :
Tableau Récapitulatif Interactif
Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.
| Paramètre | Valeur Calculée |
|---|---|
| Variation en X (\(\Delta X\)) | Cliquez pour révéler |
| Variation en Y (\(\Delta Y\)) | Cliquez pour révéler |
| Coordonnées de B (X ; Y) | Cliquez pour révéler |
À vous de jouer ! (Défi)
Nouveau Scénario : Depuis une station C (\(X_C = 250.00 \, \text{m}\) ; \(Y_C = 300.00 \, \text{m}\)), on mesure un point D avec un azimut de 135.00 grades et une distance de 80.00 m. Quelles sont les coordonnées (\(X_D, Y_D\)) du point D ?
Pièges à Éviter
Unité d'angle : C'est LE piège principal. Assurez-vous que votre calculatrice est en mode GRADES (GRD ou G) et non en Degrés (DEG) ou Radians (RAD). Un calcul en degrés donnerait des résultats totalement faux.
Inversion Sinus/Cosinus : En topographie, avec l'azimut depuis le Nord (Y), on a toujours \(\Delta X = D \cdot \sin(Az)\) et \(\Delta Y = D \cdot \cos(Az)\). Inverser les deux est une erreur classique.
Erreur de signe : N'oubliez pas d'additionner les variations (\(\Delta X, \Delta Y\)) aux coordonnées du point de départ, et non l'inverse. Les coordonnées du point d'arrivée dépendent de celles du point de départ.
Simulation Interactive de Levé Polaire
Variez l'azimut et la distance pour voir comment le point B se déplace par rapport au point A.
Paramètres de la Mesure Polaire
Visualisation du Levé
Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion
1. Le Calcul Inverse : Gisement et Distance entre deux points
Si vous connaissez les coordonnées de deux points A et B, pouvez-vous retrouver l'azimut et la distance de A vers B ? C'est le problème inverse, tout aussi fondamental. Il fait appel à la fonction arc-tangente (\(\arctan(\frac{\Delta X}{\Delta Y})\)) pour trouver l'angle (appelé gisementAngle formé par la direction d'un point visé et l'axe des Y (Nord). Le calcul du gisement est une étape intermédiaire pour retrouver l'azimut.) et au théorème de Pythagore (\(\sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}\)) pour la distance.
2. Le Cheminement
En pratique, un topographe ne mesure pas tout depuis un seul point. Il effectue un "cheminement" : de A il mesure B, puis il déplace son appareil en B pour mesurer C, puis de C il mesure D, etc. Les coordonnées de chaque nouveau point sont calculées à partir du précédent, propageant le calcul le long du parcours.
Le Saviez-Vous ?
Le grade (ou gradian) est une unité d'angle inventée en France après la Révolution, en même temps que le système métrique. L'idée était de tout baser sur le système décimal : un angle droit mesure 100 grades, et un tour complet 400 grades. C'est très pratique pour les calculs mentaux et est resté le standard en topographie en France et dans de nombreux autres pays, alors que les degrés (360 pour un tour) sont plus courants dans d'autres domaines.
Foire Aux Questions (FAQ)
Quelle est la différence entre un azimut et un gisement ?
L'azimut est l'angle final, toujours positif, compté de 0 à 400 grades (ou 0-360°) depuis le Nord. Le gisement est un angle de calcul, généralement trouvé avec la fonction \(\arctan\). Il peut être négatif ou nécessiter une correction (ajouter 200 ou 400 gr) pour correspondre à l'azimut, selon le quadrant dans lequel se trouve le point visé.
Et si la distance mesurée n'est pas horizontale ?
Les tachéomètres modernes mesurent une distance inclinée et un angle vertical. La première étape du calcul est de projeter cette distance inclinée à l'horizontale en utilisant le cosinus de l'angle vertical. C'est cette distance horizontale qui est ensuite utilisée dans les calculs de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si l'azimut d'une visée est de 200 gr, dans quelle direction va le point ?
2. Pour un azimut de 100 gr, la variation en Y (\(\Delta Y\)) est :
Glossaire
- Coordonnées Cartésiennes
- Système de coordonnées pour définir un point par sa position sur deux ou trois axes perpendiculaires (X pour Est, Y pour Nord, et Z pour l'altitude).
- Coordonnées Polaires
- Système de coordonnées pour définir un point par un angle et une distance par rapport à un point d'origine.
- Azimut
- Angle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir d'une direction de référence, généralement le Nord. Il varie de 0 à 400 grades.
- Gisement
- Angle formé par la direction d'un point visé et l'axe des Y (Nord). Le calcul du gisement est une étape intermédiaire pour retrouver l'azimut.
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