Calcul de la Surface sur Plan d'un Terrain de Sport
Contexte : Du Réel au Plan
Cet exercice aborde la démarche inverse des précédents. Au lieu de partir d'un plan pour trouver une mesure réelle, nous partons de dimensions réelles connues pour déterminer comment les représenter sur un plan à une échelle donnée. C'est une tâche quotidienne pour les architectes, les paysagistes ou les urbanistes qui doivent dessiner des projets (bâtiments, parcs, routes) sur des plans de site existants.
Remarque Pédagogique : La logique est inversée : au lieu de multiplier par le dénominateur de l'échelle pour "agrandir" la mesure du plan, nous allons diviser par ce même dénominateur pour "réduire" la mesure réelle à la taille du plan. La maîtrise des deux sens de calcul est essentielle.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer les dimensions sur plan (longueur, largeur) à partir de dimensions réelles.
- Appliquer la formule de l'aire d'un rectangle aux dimensions sur plan.
- Comprendre l'importance de l'unité finale (cm²) pour une surface sur plan.
- Manipuler la démarche de réduction par l'échelle.
Données de l'étude
- Échelle du plan d'aménagement : \(1:200\)
- Dimensions réelles d'un terrain de basketball :
- Longueur : \(28 \, \text{m}\)
- Largeur : \(15 \, \text{m}\)
Schéma du Problème
Questions à traiter
- Calculer la longueur du terrain sur le plan, en centimètres.
- Calculer la largeur du terrain sur le plan, en centimètres.
- Calculer la surface que le terrain occupera sur le plan, en centimètres carrés (cm²).
Correction : Calcul de la surface sur le plan correspondant à un terrain de sport
Question 1 : Calcul de la Longueur sur Plan
Principe :
Pour trouver la dimension sur le plan, il faut d'abord convertir la dimension réelle dans une unité pratique (cm), puis la diviser par le dénominateur de l'échelle.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : La première étape est toujours de s'assurer que l'on travaille avec les mêmes unités. Convertir 28 mètres en 2800 centimètres avant de diviser est essentiel pour obtenir un résultat cohérent en centimètres.
Calcul(s) :
Question 2 : Calcul de la Largeur sur Plan
Principe :
On répète la même opération pour la largeur : conversion en centimètres, puis division par le dénominateur de l'échelle.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Cette opération de réduction est fondamentale pour tout travail de dessin technique. Un architecte doit savoir exactement quelle place un objet prendra sur son plan pour s'assurer que tout s'agence correctement.
Calcul(s) :
Question 3 : Calcul de la Surface sur Plan (cm²)
Principe :
Maintenant que nous avons les deux dimensions du rectangle sur le plan, nous pouvons calculer sa surface sur le plan en multipliant sa longueur par sa largeur. Le résultat sera en centimètres carrés (cm²).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : C'est la surface que le terrain occupera physiquement sur votre feuille de papier. Cette valeur est utile pour vérifier si le dessin "rentre" dans la page et pour organiser l'agencement des différents éléments du plan.
Formule(s) utilisée(s) :
Calcul(s) :
Tableau Récapitulatif Interactif
Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.
| Paramètre | Valeur Calculée |
|---|---|
| Longueur sur le plan | Cliquez pour révéler |
| Largeur sur le plan | Cliquez pour révéler |
| Surface sur le plan | Cliquez pour révéler |
À vous de jouer ! (Défi)
Nouveau Scénario : Vous devez dessiner une piscine olympique (dimensions réelles : 50 m par 25 m) sur un plan de masse à l'échelle 1:400. Quelle surface (en cm²) la piscine occupera-t-elle sur votre dessin ?
Pièges à Éviter
Oublier de convertir les unités : Diviser directement les mètres (28 m) par 200 donnerait 0.14 m. C'est juste, mais peu pratique pour dessiner. Il faut ensuite reconvertir en cm. Il est plus simple de tout passer en cm dès le début.
Multiplier au lieu de diviser : C'est l'erreur symétrique de l'exercice précédent. Pour passer du réel au plan, on réduit, donc on divise par le dénominateur de l'échelle.
Simulation Interactive de Calcul de Surface sur Plan
Variez les dimensions réelles et l'échelle pour voir comment la surface à dessiner sur le plan évolue.
Paramètres de Simulation
Résultats sur le Plan
Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion
1. Impact de l'échelle sur la précision du dessin
Si vous dessinez à une échelle très petite (ex: 1:5000), un terrain de basket deviendra un point minuscule sur votre plan. La moindre erreur de tracé au crayon (0.5 mm) représentera une erreur de plusieurs mètres sur le terrain. Le choix d'une échelle adaptée est donc un compromis entre la vue d'ensemble et la précision du détail.
2. Le Kutch ou "Latte d'Architecte"
Les professionnels n'effectuent pas ces calculs en permanence. Ils utilisent un outil appelé un kutch (ou règle à échelles), qui est une règle triangulaire possédant plusieurs échelles pré-graduées (1:20, 1:50, 1:100, etc.). Cela leur permet de lire et de dessiner directement les dimensions réelles sur le plan sans calcul mental.
Le Saviez-Vous ?
Avant les ordinateurs, les plans étaient dessinés à la main à l'encre de Chine sur du papier calque. Le moindre changement impliquait de gratter l'encre avec une lame de rasoir et de redessiner par-dessus, une opération délicate et fastidieuse. Le calcul correct des dimensions dès la première fois était donc absolument essentiel.
Foire Aux Questions (FAQ)
Comment dessiner un cercle (ex: un rond-point) à l'échelle ?
Le principe est le même. Vous prenez le rayon réel du cercle (ex: 10 mètres), vous le convertissez à l'échelle (ex: 10 m / 200 = 0.05 m = 5 cm), puis vous utilisez un compas pour dessiner un cercle avec ce rayon sur le plan.
Pourquoi l'échelle de surface est le carré de l'échelle de longueur ?
Car une surface a deux dimensions. Si vous réduisez la longueur par X et la largeur par X, la surface (\(L \times l\)) est réduite par \(X \times X\), soit \(X^2\). Pour notre exercice, l'échelle des longueurs est 1:200. L'échelle des surfaces est donc \(1:(200^2)\), soit 1:40 000. Vous pouvez vérifier : \(10400 \, \text{m}^2 / 40000 = 0.26 \, \text{m}^2 = 2600 \, \text{cm}^2\). Cela ne correspond pas à nos 105 cm², démontrant le piège ! Il faut toujours convertir les longueurs d'abord.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Un bâtiment de 40 m de long doit être dessiné sur un plan au 1:500. Quelle sera sa longueur sur le plan ?
2. Pour représenter un objet réel sur un plan, on doit :
Glossaire
- Surface sur plan
- L'aire qu'occupe un objet sur le dessin une fois que ses dimensions réelles ont été réduites à l'échelle. Elle s'exprime généralement en centimètres carrés (cm²).
- Hectare (ha)
- Unité de mesure de surface équivalente à 10 000 mètres carrés. C'est le standard pour les grandes parcelles agricoles ou forestières.
- Échelle
- Le rapport constant entre les longueurs mesurées sur un plan et les longueurs réelles correspondantes sur le terrain. Elle est exprimée sous la forme 1:X.
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