Étude Topographique

Calcul de la Surface sur Plan d’un Terrain de Sport

Exercice : Calcul de la Surface d’un Terrain de Sport

Calcul de la Surface sur Plan d’un Terrain de Sport

Contexte : Les fondamentaux de la TopographieLa science qui permet la mesure puis la représentation sur un plan ou une carte des formes et détails visibles sur le terrain..

Un géomètre-topographe a été mandaté pour déterminer la surface exacte d'un terrain de sport communal en vue de sa rénovation. À l'aide d'une station totaleUn instrument de mesure électronique utilisé en topographie pour mesurer des angles et des distances simultanément., il a réalisé un levé des cinq sommets du terrain. Votre mission est d'utiliser son carnet de notes pour calculer la surface précise du terrain.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est un cas d'application directe des calculs de base en topographie. Il vous apprendra à manipuler des coordonnées cartésiennesUn système de coordonnées à deux (X, Y) ou trois (X, Y, Z) dimensions qui permet de situer un point dans l'espace. pour en déduire une surface, une compétence indispensable pour tout technicien ou ingénieur du BTP.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et utiliser un système de coordonnées planes (X, Y).
  • Appliquer la méthode de calcul de surface par les coordonnées (formule des lacets).
  • Savoir décomposer une surface complexe en figures simples pour vérification.
  • Calculer des distances entre des points définis par leurs coordonnées.

Données de l'étude

Le levé topographique a permis d'obtenir les coordonnées des cinq sommets (A, B, C, D, E) du terrain de sport dans un repère orthonormé.

Fiche Technique du Levé
Caractéristique Information
Type de Levé Levé par coordonnées polaires rattaché
Instrument Utilisé Station Totale Leica TS16
Précision Attendue Centimétrique (±2 cm)
Plan schématique du terrain de sport
A B C D E
Point Coordonnée X (m) Coordonnée Y (m)
A 10.00 20.00
B 80.00 10.00
C 100.00 70.00
D 40.00 90.00
E 5.00 60.00

Questions à traiter

  1. Calculer les distances des côtés du terrain : AB, BC, CD, DE, et EA.
  2. Calculer la surface totale du terrain en utilisant la méthode des coordonnées (formule des lacets).
  3. Vérifier le calcul de la surface en décomposant le polygone en trois triangles (ABC, ACD, ADE).
  4. Discuter de deux sources d'erreur potentielles qui auraient pu affecter la précision des coordonnées lors du levé.
  5. Convertir la surface calculée en hectares (ha).

Les bases de la Topographie

Pour résoudre cet exercice, deux concepts fondamentaux sont nécessaires : le calcul de distance entre deux points dans un repère et le calcul de surface d'un polygone à partir des coordonnées de ses sommets.

1. Distance entre deux points
Dans un repère orthonormé, la distance entre un point 1 de coordonnées \((X_1, Y_1)\) et un point 2 de coordonnées \((X_2, Y_2)\) est donnée par la formule issue du théorème de Pythagore : \[ D_{1-2} = \sqrt{(X_2 - X_1)^2 + (Y_2 - Y_1)^2} \]

2. Surface par la formule des lacets
La surface d'un polygone dont les sommets \((X_i, Y_i)\) sont connus et classés dans l'ordre (horaire ou anti-horaire) peut être calculée avec la formule des lacetsMéthode mathématique pour calculer l'aire d'un polygone simple dont les sommets sont décrits par leurs coordonnées cartésiennes. : \[ S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i) \right| \] Avec le point \(n+1\) qui est identique au point 1 pour boucler le polygone.

Correction : Calcul de la Surface sur Plan d’un Terrain de Sport

Question 1 : Calculer les distances des côtés du terrain

Principe

Le concept physique derrière ce calcul est la distance euclidienne dans un plan à deux dimensions. On imagine un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le segment reliant nos deux points. Les deux autres côtés sont les différences de coordonnées (ΔX et ΔY). Le théorème de Pythagore nous permet alors de trouver la longueur de l'hypoténuse.

Mini-Cours

En géométrie analytique, un segment de droite entre deux points A et B peut être vu comme un vecteur \(\vec{AB}\). Les composantes de ce vecteur sont \((\Delta X, \Delta Y) = (X_B - X_A, Y_B - Y_A)\). La longueur du segment, ou la norme du vecteur, est calculée comme \(\|\vec{AB}\| = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}\). C'est l'application directe du théorème de Pythagore.

Remarque Pédagogique

Pour éviter les erreurs de signe, il est conseillé de toujours soustraire les coordonnées dans le même ordre (par exemple, 'arrivée' moins 'départ'). Cependant, comme les différences sont élevées au carré, une inversion de signe n'impactera pas le résultat final de la distance, mais prendre de bonnes habitudes est essentiel pour des calculs plus complexes (comme les gisements).

Normes

En France, les travaux topographiques sont souvent rattachés au système de projection national, le RGF93-CC (Référentiel Géodésique Français 1993 - Conique Conforme). La précision des levés est classée (par exemple, classe A pour les zones urbaines denses). Pour cet exercice, nous supposons travailler dans un plan local suffisamment petit pour ignorer la courbure de la Terre.

Formule(s)

La distance \(D\) entre un point \(P_1(X_1, Y_1)\) et un point \(P_2(X_2, Y_2)\) est :

\[ D = \sqrt{(X_2 - X_1)^2 + (Y_2 - Y_1)^2} \]
Hypothèses

Nous faisons les hypothèses suivantes : les coordonnées sont exprimées dans un repère orthonormé direct, le terrain est considéré comme une surface plane (projection horizontale), et les coordonnées fournies sont exactes.

Donnée(s)

Pour chaque calcul, nous utilisons les coordonnées des deux points concernés. Par exemple, pour le segment AB : A(10.00, 20.00) et B(80.00, 10.00).

Astuces

La plupart des calculatrices scientifiques ont une fonction "POL" (conversion Polaire) qui peut calculer la distance (le rayon r) directement à partir des différences de coordonnées (ΔX, ΔY). Cela permet de vérifier rapidement vos calculs manuels.

Schéma (Avant les calculs)
Illustration du calcul de distance pour AB
A(Xₐ,Yₐ)B(Xₑ,Yₑ)ΔX = Xₑ-XₐΔY = Yₑ-Yₐ
Calcul(s)

Distance AB

\[ \begin{aligned} D_{\text{AB}} &= \sqrt{(80 - 10)^2 + (10 - 20)^2} \\ &= \sqrt{70^2 + (-10)^2} \\ &= \sqrt{4900 + 100} \\ &= \sqrt{5000} \\ &\approx 70.71 \text{ m} \end{aligned} \]

Distance BC

\[ \begin{aligned} D_{\text{BC}} &= \sqrt{(100 - 80)^2 + (70 - 10)^2} \\ &= \sqrt{20^2 + 60^2} \\ &= \sqrt{400 + 3600} \\ &= \sqrt{4000} \\ &\approx 63.25 \text{ m} \end{aligned} \]

Distance CD

\[ \begin{aligned} D_{\text{CD}} &= \sqrt{(40 - 100)^2 + (90 - 70)^2} \\ &= \sqrt{(-60)^2 + 20^2} \\ &= \sqrt{3600 + 400} \\ &= \sqrt{4000} \\ &\approx 63.25 \text{ m} \end{aligned} \]

Distance DE

\[ \begin{aligned} D_{\text{DE}} &= \sqrt{(5 - 40)^2 + (60 - 90)^2} \\ &= \sqrt{(-35)^2 + (-30)^2} \\ &= \sqrt{1225 + 900} \\ &= \sqrt{2125} \\ &\approx 46.10 \text{ m} \end{aligned} \]

Distance EA

\[ \begin{aligned} D_{\text{EA}} &= \sqrt{(10 - 5)^2 + (20 - 60)^2} \\ &= \sqrt{5^2 + (-40)^2} \\ &= \sqrt{25 + 1600} \\ &= \sqrt{1625} \\ &\approx 40.31 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Plan avec distances calculées
ABCDE70.71m63.25m63.25m46.10m40.31m
Réflexions

Les distances calculées correspondent aux longueurs horizontales des limites du terrain. Ces valeurs sont essentielles pour l'implantation de clôtures, le marquage au sol ou la commande de matériaux. On remarque que les côtés BC et CD ont la même longueur, ce qui suggère une possible symétrie dans une partie du terrain.

Points de vigilance

La principale source d'erreur dans ce calcul est d'oublier de prendre la racine carrée à la fin. Une autre erreur commune est de mal saisir les coordonnées dans la calculatrice. Vérifiez toujours vos entrées.

Points à retenir
  • La distance entre deux points est la norme du vecteur qui les relie.
  • La formule \(D = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}\) est une application directe de Pythagore.
  • Cette distance est une distance horizontale, ou planimétrique.
Le saviez-vous ?

Le mot "géomètre" vient du grec ancien "geometres", qui signifie "celui qui mesure la Terre". Les premiers géomètres, en Égypte ancienne, utilisaient des cordes à nœuds pour rétablir les limites des champs après les crues du Nil, une application très précoce de ces calculs de distance.

FAQ
Que se passe-t-il si le terrain est en pente ?

La distance que nous avons calculée est la distance "à vol d'oiseau" sur un plan horizontal. Si le terrain est en pente, la distance réelle à parcourir sur le sol (distance suivant la pente) sera plus grande. Les topographes mesurent aussi l'altitude (Z) pour calculer cette distance inclinée si nécessaire.

Résultat Final
Les longueurs des côtés sont : AB ≈ 70.71 m, BC ≈ 63.25 m, CD ≈ 63.25 m, DE ≈ 46.10 m, et EA ≈ 40.31 m.
A vous de jouer

Pour vous entraîner, calculez la longueur de la diagonale AC du terrain.

Question 2 : Calculer la surface totale par la formule des lacets

Principe

La formule des lacets, ou formule du géomètre, est une méthode qui décompose un polygone en une série de trapèzes dont les aires (positives ou négatives selon l'orientation) sont additionnées. Le résultat final est la surface nette du polygone. C'est une méthode très robuste et facile à programmer.

Mini-Cours

La formule peut être visualisée en disposant les coordonnées en deux colonnes. On multiplie chaque X d'une ligne par le Y de la ligne suivante (produits "descendants"), on somme ces produits. On fait de même en multipliant chaque Y par le X de la ligne suivante (produits "montants"). La surface est la moitié de la différence absolue entre ces deux sommes.

Remarque Pédagogique

Pour éviter toute confusion, il est très utile de redessiner le tableau de coordonnées en ajoutant la première ligne à la fin. Cela permet de s'assurer que le dernier segment (EA dans notre cas) est bien inclus dans le calcul et que la boucle est fermée.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique pour la méthode de calcul, car c'est un principe mathématique universel. Cependant, les normes topographiques exigent que les surfaces rendues dans les documents officiels (bornage, division) soient calculées avec des méthodes reconnues et vérifiables, comme celle-ci.

Formule(s)
\[ S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i) \right| \]
Hypothèses

Nous supposons que les sommets sont listés dans un ordre séquentiel (ici, A -> B -> C -> D -> E -> A) et que le polygone est "simple", c'est-à-dire que ses arêtes ne se croisent pas.

Donnée(s)
PointX (m)Y (m)
A10.0020.00
B80.0010.00
C100.0070.00
D40.0090.00
E5.0060.00
A (retour)10.0020.00
Astuces

Si vous effectuez le calcul dans un tableur (Excel, Google Sheets), cette méthode est extrêmement rapide à mettre en œuvre. Une colonne pour les produits \(X_i Y_{i+1}\), une autre pour les \(X_{i+1} Y_i\), puis une simple soustraction et une division par deux.

Schéma (Avant les calculs)
Polygone à calculer
ABCDE
Calcul(s)

Somme 1 (Produits descendants : \(X_i Y_{i+1}\))

\[ \begin{aligned} \sum_1 &= (10 \times 10) + (80 \times 70) + (100 \times 90) + (40 \times 60) + (5 \times 20) \\ &= 100 + 5600 + 9000 + 2400 + 100 \\ &= 17200 \end{aligned} \]

Somme 2 (Produits montants : \(Y_i X_{i+1}\))

\[ \begin{aligned} \sum_2 &= (20 \times 80) + (10 \times 100) + (70 \times 40) + (90 \times 5) + (60 \times 10) \\ &= 1600 + 1000 + 2800 + 450 + 600 \\ &= 6450 \end{aligned} \]

Calcul de la Surface

\[ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} | \sum_1 - \sum_2 | \\ &= \frac{1}{2} | 17200 - 6450 | \\ &= \frac{1}{2} \times 10750 \\ &= 5375 \text{ m}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Schéma du terrain avec sa surface
Surface = 5375 m²
Réflexions

Une surface de 5375 m² représente un terrain de taille considérable, typique pour un complexe sportif de quartier. Ce chiffre servira de base pour tous les plans d'aménagement, les estimations de coûts pour le gazon, le revêtement, etc.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est de se tromper dans l'ordre des multiplications ou d'oublier un terme. Une autre est d'oublier de diviser par 2 à la fin. La rigueur et une disposition claire des calculs sont vos meilleurs alliés.

Points à retenir

La formule des lacets est une méthode universelle pour calculer la surface de n'importe quel polygone simple. Elle est systématique et se base sur la somme des produits en croix des coordonnées des sommets successifs.

Le saviez-vous ?

Cette formule a été décrite par Albrecht Ludwig Friedrich Meister en 1769 et popularisée par Carl Friedrich Gauss. Elle est à la base de nombreux algorithmes utilisés aujourd'hui dans les logiciels de Conception Assistée par Ordinateur (CAO) et les Systèmes d'Information Géographique (SIG).

FAQ
Le sens de parcours (horaire ou anti-horaire) change-t-il quelque chose ?

Le sens de parcours change le signe du résultat avant la valeur absolue. Un sens donne une valeur positive, l'autre une valeur négative. Comme on prend la valeur absolue à la fin, le résultat de la surface est identique. Par convention, le sens anti-horaire (trigonométrique) donne souvent un résultat positif.

Résultat Final
La surface du terrain de sport est de 5375 m².
A vous de jouer

Recalculez la surface si le point E avait pour coordonnées (10, 55). Quelle serait la nouvelle surface ?

Question 3 : Vérifier la surface par décomposition en triangles

Principe

Ce principe, fondamental en géométrie, est celui de la décomposition ou triangulation. Tout polygone simple peut être pavé par des triangles qui ne se chevauchent pas et dont les sommets sont des sommets du polygone. C'est une méthode de vérification puissante car elle utilise une approche de calcul différente pour arriver au même résultat.

Mini-Cours

La surface d'un triangle défini par trois points A, B, C peut aussi être calculée avec une variante de la formule des lacets : \(S = \frac{1}{2} |X_A(Y_B - Y_C) + X_B(Y_C - Y_A) + X_C(Y_A - Y_B)|\). Cette formule est mathématiquement équivalente à celle utilisée dans les calculs ci-dessous. C'est une application du produit vectoriel en 2D.

Remarque Pédagogique

Le choix du sommet commun pour la décomposition (ici, le point A) est arbitraire. Vous obtiendriez le même résultat total en choisissant B, C, D ou E comme sommet commun. Choisir le sommet le plus "rentrant" ou le plus "sortant" peut parfois simplifier la visualisation.

Normes

La vérification des calculs par une méthode indépendante est une pratique recommandée dans toutes les normes de qualité en ingénierie (comme la norme ISO 9001). En topographie, cela garantit la fiabilité des surfaces livrées au client, qui ont souvent des implications légales et financières importantes.

Formule(s)

Surface d'un triangle à partir des coordonnées de ses 3 sommets (A, B, C) :

\[ S_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} |(X_A Y_B + X_B Y_C + X_C Y_A) - (Y_A X_B + Y_B X_C + Y_C X_A)| \]
Hypothèses

Nous supposons que la décomposition en triangles couvre l'intégralité du polygone sans aucun vide ni chevauchement. Le choix des triangles ABC, ACD et ADE respecte cette condition.

Donnée(s)

Les coordonnées des points A, B, C, D et E sont utilisées pour former les trois triangles.

Astuces

Pour vérifier rapidement si votre décomposition est correcte, comptez le nombre de triangles. Pour un polygone simple à 'n' sommets, une décomposition à partir d'un sommet unique générera toujours 'n-2' triangles. Ici, avec 5 sommets, nous avons bien 5-2 = 3 triangles.

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition du terrain en triangles
ABCDE
Calcul(s)

Surface du Triangle ABC

\[ \begin{aligned} S_{\text{ABC}} &= \frac{1}{2} |10(10-70) + 80(70-20) + 100(20-10)| \\ &= \frac{1}{2} |-600 + 4000 + 1000| \\ &= \frac{1}{2} |4400| \\ &= 2200 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Surface du Triangle ACD

\[ \begin{aligned} S_{\text{ACD}} &= \frac{1}{2} |10(70-90) + 100(90-20) + 40(20-70)| \\ &= \frac{1}{2} |-200 + 7000 - 2000| \\ &= \frac{1}{2} |4800| \\ &= 2400 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Surface du Triangle ADE

\[ \begin{aligned} S_{\text{ADE}} &= \frac{1}{2} |10(90-60) + 40(60-20) + 5(20-90)| \\ &= \frac{1}{2} |300 + 1600 - 350| \\ &= \frac{1}{2} |1550| \\ &= 775 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Surface Totale

\[ \begin{aligned} S_{\text{Total}} &= S_{\text{ABC}} + S_{\text{ACD}} + S_{\text{ADE}} \\ &= 2200 + 2400 + 775 \\ &= 5375 \text{ m}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Décomposition avec surfaces partielles
2200 m²2400 m²775 m²
Réflexions

Le fait que la somme des surfaces des triangles soit rigoureusement identique à la surface calculée par la méthode des lacets est un excellent indicateur que nos calculs sont justes. Cette redondance est une pratique essentielle pour garantir la qualité des résultats en ingénierie.

Points de vigilance

Lors de la décomposition, assurez-vous que les triangles ne se chevauchent pas et qu'ils couvrent bien toute la surface du polygone initial. Une mauvaise décomposition est une source d'erreur majeure pour cette méthode de vérification.

Points à retenir

La décomposition en triangles est une méthode de vérification fondamentale et intuitive. La surface totale d'une figure complexe est égale à la somme des surfaces de ses parties non superposées.

Le saviez-vous ?

La triangulation est la base du fonctionnement des systèmes GPS. Un récepteur GPS calcule sa position en mesurant sa distance à plusieurs satellites. En 3D, il faut au moins 4 satellites pour déterminer la position (X, Y, Z) et corriger l'horloge du récepteur, un processus appelé trilatération.

FAQ
Existe-t-il d'autres méthodes de décomposition ?

Oui, on peut décomposer un polygone en une série de trapèzes en projetant chaque sommet sur l'axe des X (ou des Y). La formule des lacets est en réalité une systématisation de cette méthode des trapèzes.

Résultat Final
La somme des surfaces des triangles est de 5375 m², ce qui confirme le calcul précédent.
A vous de jouer

Si vous décomposiez le polygone à partir du sommet C, quels seraient les trois triangles à calculer ? (Pas de calcul demandé, juste les nommer).

Question 4 : Discuter des sources d'erreur potentielles

Principe

Le concept physique est qu'aucune mesure n'est parfaite. Chaque mesure est affectée par des incertitudes qui proviennent de l'instrument, de l'opérateur et de l'environnement. Comprendre ces sources d'erreur est la première étape pour les quantifier et les minimiser.

Mini-Cours

On distingue trois types d'erreurs : les fautes (ou erreurs grossières, ex: mauvaise lecture), les erreurs systématiques (qui se répètent de manière prévisible, ex: instrument mal calibré) et les erreurs accidentelles (ou aléatoires, qui varient de manière imprévisible, ex: petite instabilité de l'opérateur). Les fautes doivent être éliminées, les erreurs systématiques corrigées, et les erreurs accidentelles traitées par des méthodes statistiques (comme la moyenne).

Remarque Pédagogique

Un bon topographe n'est pas celui qui ne fait pas d'erreur, mais celui qui met en place des procédures pour les détecter et les corriger. La fermeture de polygones, les mesures redondantes et les calculs de vérification sont des réflexes professionnels.

Normes

Les normes de tolérance dans la construction (par exemple, les DTU en France) définissent les écarts maximaux acceptables pour les implantations. Un levé topographique doit avoir une précision supérieure à ces tolérances de construction pour être exploitable.

Formule(s)

Il n'y a pas de formule de calcul ici, mais des concepts. La propagation des erreurs peut être modélisée mathématiquement pour estimer l'incertitude finale sur un résultat (comme la surface) en fonction des incertitudes sur les mesures initiales.

Hypothèses

Cette question ne repose pas sur des hypothèses de calcul mais sur une analyse des procédures de mesure réelles.

Donnée(s)

Les données sont les informations contextuelles de l'énoncé : instrument utilisé (station totale), type de levé, et précision attendue (centimétrique).

Astuces

Non applicable pour cette question.

Schéma (Avant les calculs)
Erreur de centrage de la station
Point au solAxe de l'instrumentAxe vertical vraiErreur (e)
Calcul(s)

Non applicable pour cette question.

Schéma (Après les calculs)
Erreur de verticalité du prisme
Point viséVerticalePrismeVisée de la stationErreur de position
Réflexions

Voici deux exemples de sources d'erreur potentielles et leur impact :

  • Mauvaise mise en station : Si la station totale n'est pas parfaitement centrée sur le point de stationnement ou n'est pas parfaitement horizontale (calage), toutes les mesures d'angles et de distances effectuées depuis cette station seront faussées. C'est une erreur systématique qui peut décaler l'ensemble du levé.
  • Mauvaise tenue du prisme : Si l'opérateur tenant la canne avec le prisme ne la maintient pas parfaitement verticale sur le point à mesurer, la position enregistrée sera décalée par rapport à la position réelle du point. C'est une erreur humaine qui est souvent accidentelle.
Points de vigilance

Il ne faut pas confondre précision (la dispersion des mesures entre elles) et exactitude (la proximité de la mesure avec la valeur vraie). Un instrument peut être très précis (donne toujours le même résultat) mais pas exact (le résultat est faux à cause d'un défaut de calibration).

Points à retenir

La qualité d'un calcul final dépend entièrement de la qualité des mesures initiales. Les principales sources d'erreurs en topographie sont humaines (manipulation), instrumentales (calibration) et environnementales (conditions météo).

Le saviez-vous ?

Pour corriger les erreurs et trouver les coordonnées les plus probables d'un réseau de points, les géomètres utilisent une méthode statistique puissante appelée "moindres carrés". Elle minimise la somme des carrés des écarts entre les mesures observées et les valeurs calculées, assurant ainsi la meilleure cohérence globale du levé.

FAQ
Comment corrige-t-on l'effet de la température ?

Les stations totales utilisent un rayon infrarouge ou laser pour mesurer les distances. La vitesse de ce rayon dans l'air dépend de la température et de la pression. L'opérateur doit donc entrer ces paramètres dans l'appareil, qui applique automatiquement une correction pour obtenir la distance juste.

Résultat Final
Deux sources d'erreur majeures sont la mauvaise mise en station de l'instrument et une tenue non verticale du prisme sur le point visé.
A vous de jouer

Non applicable pour cette question.

Question 5 : Convertir la surface en hectares

Principe

Le principe est celui de la conversion d'unités. Il s'agit d'exprimer une même quantité physique (ici, une surface) dans une unité différente en utilisant un facteur de conversion constant.

Mini-Cours

L'hectare (ha) fait partie du système métrique mais n'est pas une unité du Système International (SI). L'unité SI de surface est le mètre carré (m²). L'hectare est défini comme la surface d'un carré de 100 mètres de côté. 1 ha = 100 m x 100 m = 10 000 m².

Remarque Pédagogique

Pour passer des mètres carrés aux hectares, on divise par 10 000, ce qui revient à déplacer la virgule de 4 rangs vers la gauche. Pour passer des hectares aux mètres carrés, on multiplie par 10 000 (on déplace la virgule de 4 rangs vers la droite).

Normes

Bien que le m² soit l'unité SI, l'hectare est légalement reconnu et largement utilisé dans des domaines comme l'urbanisme (PLU), l'agriculture (PAC), la foresterie et l'immobilier pour les grandes parcelles.

Formule(s)
\[ 1 \text{ hectare} = 10 000 \text{ mètres carrés} \]
Hypothèses

Le calcul suppose que le facteur de conversion est exact et universellement défini, ce qui est le cas.

Donnée(s)

La surface calculée précédemment : \(S = 5375 \text{ m}^2\).

Astuces

Visualisez un terrain de football officiel : sa surface est d'environ 0.7 hectare (typiquement 105m x 68m = 7140 m²). Cela vous donne un ordre de grandeur pour vérifier si votre conversion est plausible.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison visuelle : 1 hectare vs 1 m²
1 Hectare(100m x 100m)1 m² (échelle non respectée)
Calcul(s)
\[ \begin{aligned} S_{\text{ha}} &= \frac{S_{\text{m}^2}}{10000} \\ &= \frac{5375}{10000} \\ &= 0.5375 \text{ ha} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Terrain avec double affichage de la surface
5375 m²(0.5375 ha)
Réflexions

Exprimer la surface en hectares (0.5375 ha) la rend plus facile à comparer avec d'autres parcelles agricoles ou foncières. Notre terrain de sport fait un peu plus d'un demi-hectare.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre "are" et "hectare". Un are vaut 100 m², un hectare vaut 100 ares, soit 10 000 m². L'erreur de conversion la plus fréquente est de diviser par 100 ou 1000 au lieu de 10 000.

Points à retenir

Le facteur de conversion clé à mémoriser est : 1 ha = 10 000 m².

Le saviez-vous ?

Le système métrique, dont l'hectare est dérivé, a été créé en France pendant la Révolution française pour unifier les innombrables unités de mesure qui existaient alors. Il a été conçu pour être logique et basé sur des dizaines.

FAQ
Y a-t-il d'autres unités de surface utilisées ?

Oui, notamment dans les pays anglo-saxons qui utilisent l'acre (environ 4047 m²) ou le pied carré (square foot). En France, on trouve encore parfois des unités anciennes dans les vieux actes de propriété, comme le journal ou l'arpent, dont la valeur variait d'une région à l'autre.

Résultat Final
La surface du terrain de sport est de 0.5375 hectares.
A vous de jouer

Un promoteur souhaite acheter un terrain de 3.5 hectares. Quelle est sa surface en m² ?

Outil Interactif : Simulateur d'Impact de Coordonnée

Utilisez les curseurs pour modifier les coordonnées du point C et observez en temps réel comment la surface totale du terrain est affectée.

Paramètres du Point C
100 m
70 m
Résultats Calculés
Nouvelle Surface (m²) -
Variation de Surface (%) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la formule correcte pour la distance entre A(Xₐ, Yₐ) et B(Xₑ, Yₑ) ?

2. Pour la formule des lacets, l'ordre des points est-il important ?

3. Combien de mètres carrés y a-t-il dans un hectare ?

4. Une erreur de calage de la station totale est une erreur de type :

5. Si on double les coordonnées X et Y de tous les points, la surface sera :

Coordonnées cartésiennes
Système qui permet de déterminer la position d'un point sur un plan à l'aide de deux nombres (abscisse X et ordonnée Y) ou dans l'espace avec trois nombres (X, Y, Z).
Formule des lacets
Méthode de calcul de l'aire d'un polygone à partir des coordonnées de ses sommets. Son nom vient de la méthode de calcul qui ressemble à un laçage de chaussure.
Station Totale
Instrument de géomètre qui mesure électroniquement les angles et les distances. Il combine un théodolite électronique et un mesureur de distance électronique.
Topographie
Technique de représentation graphique des formes et des détails d'un terrain, qu'ils soient naturels ou artificiels.
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